Theorem lindslinindsimp2lem5 42251

Description: Lemma 5 for lindslinindsimp2 42252. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindslinind.r	|- R = (Scalar ` M )
lindslinind.b	|- B = ( Base ` R )
lindslinind.0	|- .0. = ( 0g ` R )
lindslinind.z	|- Z = ( 0g ` M )

Assertion

Ref	Expression
lindslinindsimp2lem5	|- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, g, y   f, M, g, y   R, f, x   S, f, g, x, y   g, V, y   f, Z, g, y   .0. , f, g, x, y   R, g, y

Allowed substitution hints:   B( x)   M( x)   V( x, f)   Z( x)

Proof of Theorem lindslinindsimp2lem5

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. . 3 |- ( ( f ` x ) = .0. -> ( A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) )
2	1	2a1d 26	. 2 |- ( ( f ` x ) = .0. -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) ) )
3		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( B ^m S ) -> f : S --> B )
4		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : S --> B /\ x e. S ) -> ( f ` x ) e. B )
5	4	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. S -> ( f : S --> B -> ( f ` x ) e. B ) )
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) -> ( f : S --> B -> ( f ` x ) e. B ) )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( f : S --> B -> ( f ` x ) e. B ) )
8	7	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( f : S --> B -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( f ` x ) e. B ) )
9	3, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( B ^m S ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( f ` x ) e. B ) )
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( f ` x ) e. B ) )
11	10	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( f ` x ) e. B )
12	11	biantrurd 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( ( f ` x ) =/= .0. <-> ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) =/= .0. ) ) )
13		df-ne 2795	. . . . . . 7 |- ( ( f ` x ) =/= .0. <-> -. ( f ` x ) = .0. )
14	13	bicomi 214	. . . . . 6 |- ( -. ( f ` x ) = .0. <-> ( f ` x ) =/= .0. )
15		eldifsn 4317	. . . . . 6 |- ( ( f ` x ) e. ( B \ { .0. } ) <-> ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) =/= .0. ) )
16	12, 14, 15	3bitr4g 303	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( -. ( f ` x ) = .0. <-> ( f ` x ) e. ( B \ { .0. } ) ) )
17		lindslinind.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = (Scalar ` M )
18	17	lmodfgrp 18872	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. V /\ M e. LMod ) -> R e. Grp )
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> R e. Grp )
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> R e. Grp )
22		lindslinind.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
23		lindslinind.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` R )
24		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
25	22, 23, 24	grpinvnzcl 17487	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ ( f ` x ) e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) e. ( B \ { .0. } ) )
26	21, 25	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) /\ ( f ` x ) e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) e. ( B \ { .0. } ) )
27	26	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( ( f ` x ) e. ( B \ { .0. } ) -> ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) e. ( B \ { .0. } ) ) )
28	16, 27	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( -. ( f ` x ) = .0. -> ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) e. ( B \ { .0. } ) ) )
29		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) -> ( y ( .s ` M ) x ) = ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) )
30	29	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) -> ( ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) <-> ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) )
31	30	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) -> ( -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) <-> -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) )
32	31	orbi2d 738	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) -> ( ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) <-> ( -. g finSupp .0. \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) -> ( A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) <-> A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) ) )
34	33	rspcva 3307	. . . . . 6 |- ( ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) e. ( B \ { .0. } ) /\ A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) ) -> A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) )
35		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( S e. V /\ M e. LMod ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( S e. V /\ M e. LMod ) )
37		simplrl 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> S C_ ( Base ` M ) )
38		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> x e. S )
39		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> f e. ( B ^m S ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> f e. ( B ^m S ) )
41		lindslinind.z	. . . . . . . . 9 |- Z = ( 0g ` M )
42		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) )
43		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( f |` ( S \ { x } ) ) = ( f |` ( S \ { x } ) )
44	17, 22, 23, 41, 42, 43	lindslinindimp2lem2 42248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S /\ f e. ( B ^m S ) ) ) -> ( f |` ( S \ { x } ) ) e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) )
45	36, 37, 38, 40, 44	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( f |` ( S \ { x } ) ) e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) )
46		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( f |` ( S \ { x } ) ) -> g = ( f |` ( S \ { x } ) ) )
47	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( f |` ( S \ { x } ) ) -> .0. = ( 0g ` R ) )
48	46, 47	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( f |` ( S \ { x } ) ) -> ( g finSupp .0. <-> ( f |` ( S \ { x } ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) )
49	48	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( f |` ( S \ { x } ) ) -> ( -. g finSupp .0. <-> -. ( f |` ( S \ { x } ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) )
50		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( f |` ( S \ { x } ) ) -> ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) = ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) )
51	50	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( f |` ( S \ { x } ) ) -> ( ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) <-> ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) )
52	51	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( f |` ( S \ { x } ) ) -> ( -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) <-> -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) )
53	49, 52	orbi12d 746	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( f |` ( S \ { x } ) ) -> ( ( -. g finSupp .0. \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) <-> ( -. ( f |` ( S \ { x } ) ) finSupp ( 0g ` R ) \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) ) )
54	53	rspcva 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f |` ( S \ { x } ) ) e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) /\ A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) ) -> ( -. ( f |` ( S \ { x } ) ) finSupp ( 0g ` R ) \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) )
55	23	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f finSupp .0. <-> f finSupp ( 0g ` R ) )
56	55	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f finSupp .0. -> f finSupp ( 0g ` R ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> f finSupp ( 0g ` R ) )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> f finSupp ( 0g ` R ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> f finSupp ( 0g ` R ) )
60		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
61	59, 60	fsuppres 8300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( f |` ( S \ { x } ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
62	61	pm2.24d 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( -. ( f |` ( S \ { x } ) ) finSupp ( 0g ` R ) -> ( f ` x ) = .0. ) )
63	62	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( f |` ( S \ { x } ) ) finSupp ( 0g ` R ) -> ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) )
64		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> M e. LMod )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> M e. LMod )
66	17	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
67	22, 66	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = B
68	67	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { x } ) ) = ( B ^m ( S \ { x } ) )
69	45, 68	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( f |` ( S \ { x } ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { x } ) ) )
70		ssdifss 3741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S C_ ( Base ` M ) -> ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) -> ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) )
73		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. V -> ( S \ { x } ) e. _V )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S e. V /\ M e. LMod ) -> ( S \ { x } ) e. _V )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( S \ { x } ) e. _V )
76		elpwg 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S \ { x } ) e. _V -> ( ( S \ { x } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( ( S \ { x } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) ) )
78	72, 77	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( S \ { x } ) e. ~P ( Base ` M ) )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( S \ { x } ) e. ~P ( Base ` M ) )
80		lincval 42198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. LMod /\ ( f |` ( S \ { x } ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { x } ) ) /\ ( S \ { x } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) = ( M gsumg ( z e. ( S \ { x } ) |-> ( ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) )
81	65, 69, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) = ( M gsumg ( z e. ( S \ { x } ) |-> ( ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) )
82		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( S \ { x } ) -> ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ` z ) = ( f ` z ) )
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) /\ z e. ( S \ { x } ) ) -> ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ` z ) = ( f ` z ) )
84	83	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) /\ z e. ( S \ { x } ) ) -> ( ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ` z ) ( .s ` M ) z ) = ( ( f ` z ) ( .s ` M ) z ) )
85	84	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( z e. ( S \ { x } ) |-> ( ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ` z ) ( .s ` M ) z ) ) = ( z e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` z ) ( .s ` M ) z ) ) )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( M gsumg ( z e. ( S \ { x } ) |-> ( ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) = ( M gsumg ( z e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) )
87		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) )
88		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) <-> ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) )
89	88	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) <-> ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) )
90	89	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) )
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) )
92	17, 22, 23, 41, 42, 43	lindslinindimp2lem4 42250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( M gsumg ( z e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) = ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) )
93	36, 87, 91, 92	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( M gsumg ( z e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) = ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) )
94	81, 86, 93	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) )
95	94	pm2.24d 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) )
96	95	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) -> ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) )
97	63, 96	jaoi 394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. ( f |` ( S \ { x } ) ) finSupp ( 0g ` R ) \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) )
98	54, 97	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f |` ( S \ { x } ) ) e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) /\ A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) ) -> ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) )
99	98	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( f |` ( S \ { x } ) ) e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) -> ( A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) )
100	99	com23 86	. . . . . . 7 |- ( ( f |` ( S \ { x } ) ) e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) -> ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) )
101	45, 100	mpcom 38	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) )
102	34, 101	syl5 34	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) e. ( B \ { .0. } ) /\ A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) )
103	102	expd 452	. . . 4 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) e. ( B \ { .0. } ) -> ( A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) )
104	28, 103	syldc 48	. . 3 |- ( -. ( f ` x ) = .0. -> ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) ) -> ( A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) )
105	104	expd 452	. 2 |- ( -. ( f ` x ) = .0. -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) ) )
106	2, 105	pm2.61i 176	1 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   LModclmod 18863   linC clinc 42193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-linc 42195

This theorem is referenced by:  lindslinindsimp2  42252