Theorem lindslinindsimp2 42252

Description: Implication 2 for lindslininds 42253. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindslinind.r	|- R = (Scalar ` M )
lindslinind.b	|- B = ( Base ` R )
lindslinind.0	|- .0. = ( 0g ` R )
lindslinind.z	|- Z = ( 0g ` M )

Assertion

Ref	Expression
lindslinindsimp2	|- ( ( S e. V /\ M e. LMod ) -> ( ( S C_ ( Base ` M ) /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) ) -> ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, s, y   f, M, s, y   R, f, x   S, f, s, x, y   V, s, y   f, Z, s, y   .0. , f, s, x, y   y, R   x, B   x, M   R, s   f, V, x   x, Z

Proof of Theorem lindslinindsimp2

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) ) ) -> S C_ ( Base ` M ) )
2		elpwg 4166	. . . . 5 |- ( S e. V -> ( S e. ~P ( Base ` M ) <-> S C_ ( Base ` M ) ) )
3	2	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) ) ) -> ( S e. ~P ( Base ` M ) <-> S C_ ( Base ` M ) ) )
4	1, 3	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) ) ) -> S e. ~P ( Base ` M ) )
5		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> M e. LMod )
6		ssdifss 3741	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ ( Base ` M ) -> ( S \ { s } ) C_ ( Base ` M ) )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( S \ { s } ) C_ ( Base ` M ) )
8		difexg 4808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. V -> ( S \ { s } ) e. _V )
9	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( S \ { s } ) e. _V )
10		elpwg 4166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S \ { s } ) e. _V -> ( ( S \ { s } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { s } ) C_ ( Base ` M ) ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( ( S \ { s } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { s } ) C_ ( Base ` M ) ) )
12	7, 11	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( S \ { s } ) e. ~P ( Base ` M ) )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
14	13	lspeqlco 42228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ ( S \ { s } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( M LinCo ( S \ { s } ) ) = ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) )
15	14	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. LMod /\ ( S \ { s } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( M LinCo ( S \ { s } ) ) <-> ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) ) )
16	15	bicomd 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ ( S \ { s } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) <-> ( y ( .s ` M ) s ) e. ( M LinCo ( S \ { s } ) ) ) )
17	5, 12, 16	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) <-> ( y ( .s ` M ) s ) e. ( M LinCo ( S \ { s } ) ) ) )
18	17	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) <-> -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( M LinCo ( S \ { s } ) ) ) )
19		lindslinind.r	. . . . . . . . . . . 12 |- R = (Scalar ` M )
20		lindslinind.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` R )
21	13, 19, 20	lcoval 42201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ ( S \ { s } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( M LinCo ( S \ { s } ) ) <-> ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) /\ E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp ( 0g ` R ) /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) ) )
22		lindslinind.0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` R )
23	22	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) = .0.
24	23	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g finSupp ( 0g ` R ) <-> g finSupp .0. )
25	24	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g finSupp ( 0g ` R ) /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) <-> ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) )
26	25	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp ( 0g ` R ) /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) <-> E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) )
27	26	anbi2i 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) /\ E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp ( 0g ` R ) /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) <-> ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) /\ E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) )
28	21, 27	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. LMod /\ ( S \ { s } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( M LinCo ( S \ { s } ) ) <-> ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) /\ E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) ) )
29	5, 12, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( M LinCo ( S \ { s } ) ) <-> ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) /\ E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) ) )
30	29	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( M LinCo ( S \ { s } ) ) <-> -. ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) /\ E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) ) )
31		ianor 509	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) /\ E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) <-> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) \/ -. E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) )
32		ralnex 2992	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) -. ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) <-> -. E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) )
33		ianor 509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) <-> ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) )
34	33	ralbii 2980	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) -. ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) <-> A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) )
35	32, 34	bitr3i 266	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) <-> A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) )
36	35	orbi2i 541	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) \/ -. E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) <-> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) )
37	31, 36	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( -. ( ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) /\ E. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( g finSupp .0. /\ ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) <-> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) )
38	30, 37	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( M LinCo ( S \ { s } ) ) <-> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) ) )
39	18, 38	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) <-> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) ) )
40	39	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) <-> A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) ) )
41		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) /\ ( s e. S /\ y e. ( B \ { .0. } ) ) ) -> M e. LMod )
42		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( B \ { .0. } ) -> y e. B )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. S /\ y e. ( B \ { .0. } ) ) -> y e. B )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) /\ ( s e. S /\ y e. ( B \ { .0. } ) ) ) -> y e. B )
45		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ( Base ` M ) /\ s e. S ) -> s e. ( Base ` M ) )
46	45	ad2ant2lr 784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) /\ ( s e. S /\ y e. ( B \ { .0. } ) ) ) -> s e. ( Base ` M ) )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
48	13, 19, 47, 20	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ y e. B /\ s e. ( Base ` M ) ) -> ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) )
49	41, 44, 46, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) /\ ( s e. S /\ y e. ( B \ { .0. } ) ) ) -> ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) )
50	49	notnotd 138	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) /\ ( s e. S /\ y e. ( B \ { .0. } ) ) ) -> -. -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) )
51		nbfal 1495	. . . . . . . . 9 |- ( -. -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) <-> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) <-> F. ) )
52	50, 51	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) /\ ( s e. S /\ y e. ( B \ { .0. } ) ) ) -> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) <-> F. ) )
53	52	orbi1d 739	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) /\ ( s e. S /\ y e. ( B \ { .0. } ) ) ) -> ( ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) <-> ( F. \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) ) )
54	53	2ralbidva 2988	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) <-> A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) ( F. \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) ) )
55		r19.32v 3083	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ( B \ { .0. } ) ( F. \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) <-> ( F. \/ A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) )
56	55	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) ( F. \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) <-> A. s e. S ( F. \/ A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) )
57		r19.32v 3083	. . . . . . . 8 |- ( A. s e. S ( F. \/ A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) <-> ( F. \/ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) )
58	56, 57	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) ( F. \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) <-> ( F. \/ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) )
59		falim 1498	. . . . . . . . 9 |- ( F. -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) ) )
60		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s = x -> { s } = { x } )
61	60	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( s = x -> ( S \ { s } ) = ( S \ { x } ) )
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = x -> ( B ^m ( S \ { s } ) ) = ( B ^m ( S \ { x } ) ) )
63		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s = x -> ( y ( .s ` M ) s ) = ( y ( .s ` M ) x ) )
64	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s = x -> ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) )
65	63, 64	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s = x -> ( ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) <-> ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) )
66	65	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( s = x -> ( -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) <-> -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) )
67	66	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = x -> ( ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) <-> ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) ) )
68	62, 67	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s = x -> ( A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) <-> A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) ) )
69	68	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = x -> ( A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) <-> A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) ) )
70	69	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. S /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) -> A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) )
71		lindslinind.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- Z = ( 0g ` M )
72	19, 20, 22, 71	lindslinindsimp2lem5 42251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) )
73	72	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( x e. S -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) ) )
74	73	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) x ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) -> ( x e. S -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) ) )
75	70, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. S /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) -> ( x e. S -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) ) )
76	75	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. S -> ( A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) -> ( x e. S -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) ) ) )
77	76	pm2.43a 54	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. S -> ( A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( f ` x ) = .0. ) ) ) )
78	77	com14 96	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( x e. S -> ( f ` x ) = .0. ) ) ) )
79	78	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( x e. S -> ( f ` x ) = .0. ) ) )
80	79	expdimp 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) /\ f e. ( B ^m S ) ) -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( x e. S -> ( f ` x ) = .0. ) ) )
81	80	ralrimdv 2968	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) /\ f e. ( B ^m S ) ) -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) )
82	81	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) -> A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) )
83	82	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) ) )
84	59, 83	jaoi 394	. . . . . . . 8 |- ( ( F. \/ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) ) )
85	84	com12 32	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( ( F. \/ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) -> A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) ) )
86	58, 85	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) ( F. \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) -> A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) ) )
87	54, 86	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) ( -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( Base ` M ) \/ A. g e. ( B ^m ( S \ { s } ) ) ( -. g finSupp .0. \/ -. ( y ( .s ` M ) s ) = ( g ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) ) ) -> A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) ) )
88	40, 87	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ S C_ ( Base ` M ) ) -> ( A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) -> A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) ) )
89	88	impr 649	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) ) ) -> A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) )
90	4, 89	jca 554	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) ) ) -> ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) ) )
91	90	ex 450	1 |- ( ( S e. V /\ M e. LMod ) -> ( ( S C_ ( Base ` M ) /\ A. s e. S A. y e. ( B \ { .0. } ) -. ( y ( .s ` M ) s ) e. ( ( LSpan ` M ) ` ( S \ { s } ) ) ) -> ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ A. f e. ( B ^m S ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> A. x e. S ( f ` x ) = .0. ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   F. wfal 1488   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971   linC clinc 42193   LinCo clinco 42194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-linc 42195  df-lco 42196

This theorem is referenced by:  lindslininds  42253