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Theorem lindslinindimp2lem4 42250
Description: Lemma 4 for lindslinindsimp2 42252. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r |- R = (Scalar ` M )
lindslinind.b |- B = ( Base ` R )
lindslinind.0 |- .0. = ( 0g ` R )
lindslinind.z |- Z = ( 0g ` M )
lindslinind.y |- Y = ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) )
lindslinind.g |- G = ( f |` ( S \ { x } ) )
Assertion
Ref Expression
lindslinindimp2lem4 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) )
Distinct variable groups:   B, f, y   f, M, y   R, f, x   S, f, x, y   y, V   f, Z, y   .0. , f, x, y   y, G
Allowed substitution hints:   B( x)   R( y)   G( x, f)   M( x)   V( x, f)   Y( x, y, f)   Z( x)
Proof of Theorem lindslinindimp2lem4
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. V /\ M e. LMod ) -> M e. LMod )
21adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> M e. LMod )
3 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> S C_ ( Base ` M ) )
4 elpwg 4166 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. V -> ( S e. ~P ( Base ` M ) <-> S C_ ( Base ` M ) ) )
54ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( S e. ~P ( Base ` M ) <-> S C_ ( Base ` M ) ) )
63, 5mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> S e. ~P ( Base ` M ) )
7 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) -> x e. S )
87adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> x e. S )
92, 6, 83jca 1242 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( M e. LMod /\ S e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. S ) )
109adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( M e. LMod /\ S e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. S ) )
11 simpl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) )
12 lindslinind.g . . . . . . . . . . 11 |- G = ( f |` ( S \ { x } ) )
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> G = ( f |` ( S \ { x } ) ) )
14 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
15 lindslinind.r . . . . . . . . . . 11 |- R = (Scalar ` M )
16 lindslinind.b . . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
17 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
18 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
19 lindslinind.0 . . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` R )
2014, 15, 16, 17, 18, 19lincdifsn 42213 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. S ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ G = ( f |` ( S \ { x } ) ) ) -> ( f ( linC ` M ) S ) = ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ( +g ` M ) ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
2110, 11, 13, 20syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( f ( linC ` M ) S ) = ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ( +g ` M ) ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
2221eqeq1d 2624 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( f ( linC ` M ) S ) = Z <-> ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ( +g ` M ) ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = Z ) )
23 lmodgrp 18870 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. V /\ M e. LMod ) -> M e. Grp )
2524ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> M e. Grp )
261ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> M e. LMod )
27 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( B ^m S ) -> f : S --> B )
28 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : S --> B /\ x e. S ) -> ( f ` x ) e. B )
2928expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. S -> ( f : S --> B -> ( f ` x ) e. B ) )
3029ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( f : S --> B -> ( f ` x ) e. B ) )
3130com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : S --> B -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( f ` x ) e. B ) )
3227, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( B ^m S ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( f ` x ) e. B ) )
3332adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( f ` x ) e. B ) )
3433imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( f ` x ) e. B )
35 ssel2 3598 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` M ) )
3635ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> x e. ( Base ` M ) )
3714, 15, 17, 16lmodvscl 18880 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. LMod /\ ( f ` x ) e. B /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
3826, 34, 36, 37syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
39 difexg 4808 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. V -> ( S \ { x } ) e. _V )
4039ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( S \ { x } ) e. _V )
41 ssdifss 3741 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( Base ` M ) -> ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) )
4241ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) )
4340, 42jca 554 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( ( S \ { x } ) e. _V /\ ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) ) )
4443adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( S \ { x } ) e. _V /\ ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) ) )
45 simprl 794 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( S e. V /\ M e. LMod ) )
46 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) -> S C_ ( Base ` M ) )
4746ad2antll 765 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> S C_ ( Base ` M ) )
487ad2antll 765 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> x e. S )
49 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) -> f e. ( B ^m S ) )
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> f e. ( B ^m S ) )
51 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( 0g ` M )
52 lindslinind.y . . . . . . . . . . . . 13 |- Y = ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) )
5315, 16, 19, 51, 52, 12lindslinindimp2lem2 42248 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S /\ f e. ( B ^m S ) ) ) -> G e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) )
5445, 47, 48, 50, 53syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> G e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) )
55 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) )
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) )
5715, 16, 19, 51, 52, 12lindslinindimp2lem3 42249 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) ) -> G finSupp .0. )
5845, 56, 11, 57syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> G finSupp .0. )
5954, 58jca 554 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( G e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) /\ G finSupp .0. ) )
6014, 15, 16, 19lincfsuppcl 42202 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( S \ { x } ) e. _V /\ ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) ) /\ ( G e. ( B ^m ( S \ { x } ) ) /\ G finSupp .0. ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) e. ( Base ` M ) )
6126, 44, 59, 60syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) e. ( Base ` M ) )
62 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
6314, 18, 51, 62grpinvid2 17471 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) /\ ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) e. ( Base ` M ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) <-> ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ( +g ` M ) ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = Z ) )
6425, 38, 61, 63syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) <-> ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ( +g ` M ) ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = Z ) )
6522, 64bitr4d 271 . . . . . . 7 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( f ( linC ` M ) S ) = Z <-> ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) ) )
66 eqcom 2629 . . . . . . . 8 |- ( ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) <-> ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) = ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
6715fveq2i 6194 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
6816, 67eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( Base ` (Scalar ` M ) )
6968oveq1i 6660 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B ^m ( S \ { x } ) ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { x } ) )
7054, 69syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { x } ) ) )
71 elpwg 4166 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S \ { x } ) e. _V -> ( ( S \ { x } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) ) )
7240, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( ( S \ { x } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { x } ) C_ ( Base ` M ) ) )
7342, 72mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( S \ { x } ) e. ~P ( Base ` M ) )
7473adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( S \ { x } ) e. ~P ( Base ` M ) )
75 lincval 42198 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { x } ) ) /\ ( S \ { x } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) = ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( G ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) )
7626, 70, 74, 75syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) = ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( G ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) )
7776eqeq1d 2624 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) = ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) <-> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( G ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
7812fveq1i 6192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G ` y ) = ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ` y )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) /\ y e. ( S \ { x } ) ) -> ( G ` y ) = ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ` y ) )
80 fvres 6207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( S \ { x } ) -> ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ` y ) = ( f ` y ) )
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) /\ y e. ( S \ { x } ) ) -> ( ( f |` ( S \ { x } ) ) ` y ) = ( f ` y ) )
8279, 81eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) /\ y e. ( S \ { x } ) ) -> ( G ` y ) = ( f ` y ) )
8382oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) /\ y e. ( S \ { x } ) ) -> ( ( G ` y ) ( .s ` M ) y ) = ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) )
8483mpteq2dva 4744 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( G ` y ) ( .s ` M ) y ) ) = ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) )
8584oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( G ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) )
86 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
8728ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f : S --> B -> ( x e. S -> ( f ` x ) e. B ) )
8827, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f e. ( B ^m S ) -> ( x e. S -> ( f ` x ) e. B ) )
8988com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. S -> ( f e. ( B ^m S ) -> ( f ` x ) e. B ) )
9089ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( f e. ( B ^m S ) -> ( f ` x ) e. B ) )
9190com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( B ^m S ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( f ` x ) e. B ) )
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( f ` x ) e. B ) )
9392imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( f ` x ) e. B )
9414, 15, 17, 62, 16, 86, 26, 36, 93lmodvsneg 18907 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) )
9552eqcomi 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) = Y
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) = Y )
9796oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( f ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( Y ( .s ` M ) x ) )
9894, 97eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) )
9985, 98eqeq12d 2637 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( G ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) <-> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) ) )
10099biimpd 219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( G ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) -> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) ) )
10177, 100sylbid 230 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) = ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) -> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) ) )
10266, 101syl5bi 232 . . . . . . 7 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { x } ) ) -> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) ) )
10365, 102sylbid 230 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) /\ ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) ) -> ( ( f ( linC ` M ) S ) = Z -> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) ) )
104103ex 450 . . . . 5 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( ( f ( linC ` M ) S ) = Z -> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) ) ) )
105104com23 86 . . . 4 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. ) -> ( ( f ( linC ` M ) S ) = Z -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) ) ) )
1061053impia 1261 . . 3 |- ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) ) )
107106com12 32 . 2 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) ) -> ( ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) ) )
1081073impia 1261 1 |- ( ( ( S e. V /\ M e. LMod ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ x e. S ) /\ ( f e. ( B ^m S ) /\ f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) S ) = Z ) ) -> ( M gsumg ( y e. ( S \ { x } ) |-> ( ( f ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( Y ( .s ` M ) x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   LModclmod 18863   linC clinc 42193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-linc 42195
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