Theorem lmclim 23101

Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim.2	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
lmclim.3	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
lmclim	|- ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ F ~~> P ) ) )

Proof of Theorem lmclim

Dummy variables j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1042	. . 3 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ P e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) ) <-> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ ( P e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) ) ) )
2		lmclim.3	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	2	uztrn2 11705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
4		3anass 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) <-> ( k e. dom F /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) ) )
5		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ P e. CC ) -> Z C_ dom F )
6	5	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ P e. CC ) /\ k e. Z ) -> k e. dom F )
7	6	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ P e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) <-> ( k e. dom F /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) ) ) )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
9	8	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ P e. CC ) -> ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) )
10	9	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. CC /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) )
11	10	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. CC /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) )
12	11	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. CC -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) )
13	12	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ P e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) )
14	7, 13	bitr3d 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ P e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( ( k e. dom F /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) )
15	4, 14	syl5bb 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ P e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) )
16	3, 15	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ P e. CC ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) )
17	16	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ P e. CC ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) )
18	17	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ P e. CC ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) )
19	18	rexbidva 3049	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ P e. CC ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) )
20	19	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ P e. CC ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) )
21	20	pm5.32da 673	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) -> ( ( P e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) ) <-> ( P e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) ) )
22	21	anbi2d 740	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) -> ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ ( P e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) ) ) <-> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ ( P e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) ) ) )
23	1, 22	syl5bb 272	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) -> ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ P e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) ) <-> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ ( P e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) ) ) )
24		lmclim.2	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
25	24	cnfldtopn 22585	. . 3 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
26		cnxmet 22576	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
27	26	a1i 11	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
28		simpl 473	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) -> M e. ZZ )
29	25, 27, 2, 28	lmmbr3 23058	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ P e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. CC /\ ( ( F ` k ) ( abs o. - ) P ) < x ) ) ) )
30		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ F e. ( CC ^pm CC ) ) -> M e. ZZ )
31		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ F e. ( CC ^pm CC ) ) -> F e. ( CC ^pm CC ) )
32		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ F e. ( CC ^pm CC ) ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
33	2, 30, 31, 32	clim2 14235	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) /\ F e. ( CC ^pm CC ) ) -> ( F ~~> P <-> ( P e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) ) )
34	33	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) -> ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ F ~~> P ) <-> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ ( P e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - P ) ) < x ) ) ) ) )
35	23, 29, 34	3bitr4d 300	1 |- ( ( M e. ZZ /\ Z C_ dom F ) -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ F ~~> P ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   < clt 10074   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731  ℂ_fldccnfld 19746   ~~> tclm 21030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033

This theorem is referenced by:  lmclimf  23102