Theorem lmodsubdi 18920

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 27906 analogue, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdi.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubdi.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubdi.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubdi.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubdi.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubdi.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubdi.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubdi.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodsubdi.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdi	|- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdi.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubdi.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
3		lmodsubdi.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
4		lmodsubdi.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
6		lmodsubdi.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` W )
7		lmodsubdi.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
8		lmodsubdi.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- ( invg ` F ) = ( invg ` F )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 18918	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
13	12	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
14		lmodsubdi.k	. . . . . . . 8 |- K = ( Base ` F )
15		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
16	7	lmodring 18871	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. Ring )
18		lmodsubdi.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. K )
19	14, 15, 10, 9, 17, 18	rngnegr 18595	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) = ( ( invg ` F ) ` A ) )
20	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegl 18594	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) = ( ( invg ` F ) ` A ) )
21	19, 20	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) )
23		ringgrp 18552	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
24	17, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. Grp )
25	14, 10	ringidcl 18568	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
26	17, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
27	14, 9	grpinvcl 17467	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
28	24, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
29	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 18888	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
30	1, 18, 28, 3, 29	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
31	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 18888	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ A e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
32	1, 28, 18, 3, 31	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
33	22, 30, 32	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
34	33	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
35	4, 7, 8, 14	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ Y e. V ) -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V )
36	1, 28, 3, 35	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V )
37	4, 5, 7, 8, 14	lmodvsdi 18886	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ X e. V /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V ) ) -> ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
38	1, 18, 2, 36, 37	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
39	4, 7, 8, 14	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
40	1, 18, 2, 39	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
41	4, 7, 8, 14	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
42	1, 18, 3, 41	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
43	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 18918	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( A .x. Y ) e. V ) -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
44	1, 40, 42, 43	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
45	34, 38, 44	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
46	13, 45	eqtr4d 2659	1 |- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865

This theorem is referenced by:  lvecvscan  19111  cpmadugsumlemF  20681  nlmdsdi  22485  minveclem2  23197  mapdpglem21  36981  mapdpglem28  36990  baerlem3lem1  36996  baerlem5alem1  36997  baerlem5blem1  36998