Theorem mapdpglem28 36990

Description: Lemma for mapdpg 36995. Baer p. 45 line 18: "vx'-vy'' = x'-uy''". (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	|- H = ( LHyp ` K )
mapdpg.m	|- M = ( (mapd ` K ) ` W )
mapdpg.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
mapdpg.v	|- V = ( Base ` U )
mapdpg.s	|- .- = ( -g ` U )
mapdpg.z	|- .0. = ( 0g ` U )
mapdpg.n	|- N = ( LSpan ` U )
mapdpg.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
mapdpg.f	|- F = ( Base ` C )
mapdpg.r	|- R = ( -g ` C )
mapdpg.j	|- J = ( LSpan ` C )
mapdpg.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
mapdpg.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
mapdpg.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
mapdpg.g	|- ( ph -> G e. F )
mapdpg.ne	|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
mapdpg.e	|- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { G } ) )
mapdpgem25.h1	|- ( ph -> ( h e. F /\ ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( G R h ) } ) ) ) )
mapdpgem25.i1	|- ( ph -> ( i e. F /\ ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { i } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( G R i ) } ) ) ) )
mapdpglem26.a	|- A = (Scalar ` U )
mapdpglem26.b	|- B = ( Base ` A )
mapdpglem26.t	|- .x. = ( .s ` C )
mapdpglem26.o	|- O = ( 0g ` A )
mapdpglem28.ve	|- ( ph -> v e. B )
mapdpglem28.u1	|- ( ph -> h = ( u .x. i ) )
mapdpglem28.u2	|- ( ph -> ( G R h ) = ( v .x. ( G R i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem28	|- ( ph -> ( ( v .x. G ) R ( v .x. i ) ) = ( G R ( u .x. i ) ) )

Distinct variable groups:   h, i, u, v   u, B, v   u, C, v   u, O, v   u, .x. , v   v, G   v, R

Allowed substitution hints:   ph( v, u, h, i)   A( v, u, h, i)   B( h, i)   C( h, i)   R( u, h, i)   .x. ( h, i)   U( v, u, h, i)   F( v, u, h, i)   G( u, h, i)   H( v, u, h, i)   J( v, u, h, i)   K( v, u, h, i)   M( v, u, h, i)   .- ( v, u, h, i)   N( v, u, h, i)   O( h, i)   V( v, u, h, i)   W( v, u, h, i)   X( v, u, h, i)   Y( v, u, h, i)   .0. ( v, u, h, i)

Proof of Theorem mapdpglem28

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem28.u2	. 2 |- ( ph -> ( G R h ) = ( v .x. ( G R i ) ) )
2		mapdpglem28.u1	. . 3 |- ( ph -> h = ( u .x. i ) )
3	2	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( G R h ) = ( G R ( u .x. i ) ) )
4		mapdpg.f	. . 3 |- F = ( Base ` C )
5		mapdpglem26.t	. . 3 |- .x. = ( .s ` C )
6		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` C ) = (Scalar ` C )
7		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` (Scalar ` C ) )
8		mapdpg.r	. . 3 |- R = ( -g ` C )
9		mapdpg.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
10		mapdpg.c	. . . 4 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
11		mapdpg.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12	9, 10, 11	lcdlmod 36881	. . 3 |- ( ph -> C e. LMod )
13		mapdpglem28.ve	. . . 4 |- ( ph -> v e. B )
14		mapdpg.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
15		mapdpglem26.a	. . . . 5 |- A = (Scalar ` U )
16		mapdpglem26.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
17	9, 14, 15, 16, 10, 6, 7, 11	lcdsbase 36889	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` (Scalar ` C ) ) = B )
18	13, 17	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ph -> v e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
19		mapdpg.g	. . 3 |- ( ph -> G e. F )
20		mapdpgem25.i1	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. F /\ ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { i } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( G R i ) } ) ) ) )
21	20	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> i e. F )
22	4, 5, 6, 7, 8, 12, 18, 19, 21	lmodsubdi 18920	. 2 |- ( ph -> ( v .x. ( G R i ) ) = ( ( v .x. G ) R ( v .x. i ) ) )
23	1, 3, 22	3eqtr3rd 2665	1 |- ( ph -> ( ( v .x. G ) R ( v .x. i ) ) = ( G R ( u .x. i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   -gcsg 17424   LSpanclspn 18971   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367  LCDualclcd 36875  mapdcmpd 36913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684  df-lcdual 36876

This theorem is referenced by:  mapdpglem30  36991