Theorem rpdivcld 11889

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
rpaddcld.1	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpdivcld	|- ( ph -> ( A / B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. RR+ )
3		rpdivcl 11856	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR+ )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A / B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   / cdiv 10684   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  bcpasc  13108  mulcn2  14326  o1rlimmul  14349  mertenslem1  14616  mertenslem2  14617  effsumlt  14841  prmind2  15398  nlmvscnlem2  22489  nlmvscnlem1  22490  nghmcn  22549  lebnumlem3  22762  lebnumii  22765  nmoleub3  22919  ipcnlem2  23043  ipcnlem1  23044  equivcfil  23097  equivcau  23098  ovollb2lem  23256  ovoliunlem1  23270  uniioombllem6  23356  itg2const2  23508  itg2cnlem2  23529  aalioulem2  24088  aalioulem4  24090  aalioulem5  24091  aalioulem6  24092  aaliou  24093  aaliou2b  24096  aaliou3lem9  24105  itgulm  24162  abelthlem7  24192  abelthlem8  24193  tanrpcl  24256  logdivlti  24366  logcnlem2  24389  ang180lem2  24540  isosctrlem2  24549  birthdaylem2  24679  cxp2limlem  24702  cxp2lim  24703  cxploglim  24704  cxploglim2  24705  amgmlem  24716  logdiflbnd  24721  emcllem2  24723  fsumharmonic  24738  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem4  24758  lgamgulmlem5  24759  lgamgulmlem6  24760  lgamgulm2  24762  lgamucov  24764  lgamcvg2  24781  gamcvg  24782  gamcvg2lem  24785  regamcl  24787  relgamcl  24788  lgam1  24790  ftalem4  24802  chpval2  24943  chpchtsum  24944  logfacrlim  24949  logexprlim  24950  bclbnd  25005  bposlem1  25009  bposlem2  25010  lgsquadlem2  25106  chebbnd1lem1  25158  chebbnd1lem3  25160  chebbnd1  25161  chtppilimlem2  25163  chebbnd2  25166  chto1lb  25167  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrvmasumlem1  25184  dchrvmasum2if  25186  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem2a  25206  vmalogdivsum2  25227  2vmadivsumlem  25229  selberglem3  25236  selberg  25237  selberg4lem1  25249  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6a  25271  pntrlog2bndlem6  25272  pntrlog2bnd  25273  pntpbnd1a  25274  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  pntibndlem3  25281  pntlemd  25283  pntlemc  25284  pntlema  25285  pntlemb  25286  pntlemg  25287  pntlemn  25289  pntlemq  25290  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemf  25294  pntlemo  25296  pnt2  25302  pnt  25303  ostth2lem3  25324  ostth2  25326  blocni  27660  ubthlem2  27727  lnconi  28892  rpxdivcld  29642  omssubadd  30362  hgt750leme  30736  faclimlem1  31629  faclimlem3  31631  faclim  31632  iprodfac  31633  equivtotbnd  33577  rrncmslem  33631  rrnequiv  33634  irrapxlem5  37390  xralrple2  39570  xralrple3  39590  iooiinicc  39769  iooiinioc  39783  limclner  39883  fprodsubrecnncnvlem  40121  fprodaddrecnncnvlem  40123  stoweidlem31  40248  stoweidlem59  40276  wallispilem3  40284  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286  wallispi  40287  wallispi2lem1  40288  stirlinglem2  40292  stirlinglem4  40294  stirlinglem8  40298  stirlinglem13  40303  stirlinglem15  40305  stirlingr  40307  fourierdlem30  40354  fourierdlem73  40396  fourierdlem87  40410  qndenserrnbllem  40514  ovnsubaddlem1  40784  ovnsubaddlem2  40785  hoiqssbllem1  40836  hoiqssbllem2  40837  hoiqssbllem3  40838  ovolval5lem1  40866  ovolval5lem2  40867  vonioolem1  40894  smfmullem1  40998  smfmullem2  40999  smfmullem3  41000