Theorem lptioo2 39863

Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lptioo2.1	|- J = ( topGen ` ran (,) )
lptioo2.2	|- ( ph -> A e. RR* )
lptioo2.3	|- ( ph -> B e. RR )
lptioo2.4	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
lptioo2	|- ( ph -> B e. ( ( limPt ` J ) ` ( A (,) B ) ) )

Proof of Theorem lptioo2

Dummy variables a b x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 3738	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) \ { B } ) C_ ( A (,) B ) )
2		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
3		ubioo 12207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. B e. ( A (,) B )
4		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> ( x e. ( A (,) B ) <-> B e. ( A (,) B ) ) )
5	4	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( A (,) B ) -> ( x = B -> B e. ( A (,) B ) ) )
6	3, 5	mtoi 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A (,) B ) -> -. x = B )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -. x = B )
8		velsn 4193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { B } <-> x = B )
9	7, 8	sylnibr 319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -. x e. { B } )
10	2, 9	eldifd 3585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( ( A (,) B ) \ { B } ) )
11	10	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) -> x e. ( ( A (,) B ) \ { B } ) ) )
12	11	ssrdv 3609	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( ( A (,) B ) \ { B } ) )
13	1, 12	eqssd 3620	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) \ { B } ) = ( A (,) B ) )
14	13	ineq2d 3814	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( A (,) B ) \ { B } ) ) = ( ( a (,) b ) i^i ( A (,) B ) ) )
15	14	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( A (,) B ) \ { B } ) ) = ( ( a (,) b ) i^i ( A (,) B ) ) )
16		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> a e. RR* )
17		simplrr 801	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> b e. RR* )
18		lptioo2.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> A e. RR* )
20		elioo3g 12204	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( a (,) b ) <-> ( ( a e. RR* /\ b e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( a < B /\ B < b ) ) )
21	20	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a e. RR* /\ b e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( a < B /\ B < b ) ) )
22	21	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( a (,) b ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* /\ B e. RR* ) )
23	22	simp3d 1075	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( a (,) b ) -> B e. RR* )
24	23	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> B e. RR* )
25		iooin 12209	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( A e. RR* /\ B e. RR* ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A (,) B ) ) = ( if ( a <_ A , A , a ) (,) if ( b <_ B , b , B ) ) )
26	16, 17, 19, 24, 25	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A (,) B ) ) = ( if ( a <_ A , A , a ) (,) if ( b <_ B , b , B ) ) )
27		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( a <_ A -> if ( a <_ A , A , a ) = A )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) /\ a <_ A ) -> if ( a <_ A , A , a ) = A )
29		lptioo2.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A < B )
30	29	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) /\ a <_ A ) -> A < B )
31	28, 30	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) /\ a <_ A ) -> if ( a <_ A , A , a ) < B )
32		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. a <_ A -> if ( a <_ A , A , a ) = a )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) /\ -. a <_ A ) -> if ( a <_ A , A , a ) = a )
34	21	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( a (,) b ) -> ( a < B /\ B < b ) )
35	34	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( a (,) b ) -> a < B )
36	35	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) /\ -. a <_ A ) -> a < B )
37	33, 36	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) /\ -. a <_ A ) -> if ( a <_ A , A , a ) < B )
38	31, 37	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> if ( a <_ A , A , a ) < B )
39	34	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( a (,) b ) -> B < b )
40	22	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ( a (,) b ) -> b e. RR* )
41		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( B < b <-> -. b <_ B ) )
42	23, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( a (,) b ) -> ( B < b <-> -. b <_ B ) )
43	39, 42	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( a (,) b ) -> -. b <_ B )
44		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. b <_ B -> if ( b <_ B , b , B ) = B )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( a (,) b ) -> if ( b <_ B , b , B ) = B )
46	45	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( a (,) b ) -> B = if ( b <_ B , b , B ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> B = if ( b <_ B , b , B ) )
48	38, 47	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> if ( a <_ A , A , a ) < if ( b <_ B , b , B ) )
49	19, 16	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> if ( a <_ A , A , a ) e. RR* )
50	47, 24	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> if ( b <_ B , b , B ) e. RR* )
51		ioon0 12201	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( a <_ A , A , a ) e. RR* /\ if ( b <_ B , b , B ) e. RR* ) -> ( ( if ( a <_ A , A , a ) (,) if ( b <_ B , b , B ) ) =/= (/) <-> if ( a <_ A , A , a ) < if ( b <_ B , b , B ) ) )
52	49, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( ( if ( a <_ A , A , a ) (,) if ( b <_ B , b , B ) ) =/= (/) <-> if ( a <_ A , A , a ) < if ( b <_ B , b , B ) ) )
53	48, 52	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( if ( a <_ A , A , a ) (,) if ( b <_ B , b , B ) ) =/= (/) )
54	26, 53	eqnetrd 2861	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A (,) B ) ) =/= (/) )
55	15, 54	eqnetrd 2861	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( A (,) B ) \ { B } ) ) =/= (/) )
56	55	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) -> ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( A (,) B ) \ { B } ) ) =/= (/) ) )
57	56	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( A (,) B ) \ { B } ) ) =/= (/) ) )
58		lptioo2.1	. . 3 |- J = ( topGen ` ran (,) )
59		ioossre 12235	. . . 4 |- ( A (,) B ) C_ RR
60	59	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
61		lptioo2.3	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
62	58, 60, 61	islptre 39851	. 2 |- ( ph -> ( B e. ( ( limPt ` J ) ` ( A (,) B ) ) <-> A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( A (,) B ) \ { B } ) ) =/= (/) ) ) )
63	57, 62	mpbird 247	1 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` J ) ` ( A (,) B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   limPtclp 20938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940

This theorem is referenced by:  lptioo2cn  39877  fouriersw  40448