Theorem lsmdisj2 18095

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	|- .(+) = ( LSSum ` G )
lsmcntz.s	|- ( ph -> S e. (SubGrp ` G ) )
lsmcntz.t	|- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
lsmcntz.u	|- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
lsmdisj.o	|- .0. = ( 0g ` G )
lsmdisj.i	|- ( ph -> ( ( S .(+) T ) i^i U ) = { .0. } )
lsmdisj2.i	|- ( ph -> ( S i^i T ) = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj2	|- ( ph -> ( T i^i ( S .(+) U ) ) = { .0. } )

Proof of Theorem lsmdisj2

Dummy variables x u s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		lsmcntz.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
3		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		lsmcntz.p	. . . . . . . . 9 |- .(+) = ( LSSum ` G )
5	3, 4	lsmelval 18064	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( x e. ( S .(+) U ) <-> E. s e. S E. u e. U x = ( s ( +g ` G ) u ) ) )
6	1, 2, 5	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( S .(+) U ) <-> E. s e. S E. u e. U x = ( s ( +g ` G ) u ) ) )
7		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> s e. S )
8		subgrcl 17599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> G e. Grp )
10	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> G e. Grp )
11	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
13	12	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> S C_ ( Base ` G ) )
15	14, 7	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> s e. ( Base ` G ) )
16		lsmdisj.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- .0. = ( 0g ` G )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
18	12, 3, 16, 17	grplinv 17468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G e. Grp /\ s e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` s ) ( +g ` G ) s ) = .0. )
19	10, 15, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( ( ( invg ` G ) ` s ) ( +g ` G ) s ) = .0. )
20	19	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` s ) ( +g ` G ) s ) ( +g ` G ) u ) = ( .0. ( +g ` G ) u ) )
21	17	subginvcl 17603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ s e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` s ) e. S )
22	11, 7, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( ( invg ` G ) ` s ) e. S )
23	14, 22	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( ( invg ` G ) ` s ) e. ( Base ` G ) )
24	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> U e. (SubGrp ` G ) )
25	12	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( U e. (SubGrp ` G ) -> U C_ ( Base ` G ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> U C_ ( Base ` G ) )
27		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> u e. U )
28	26, 27	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> u e. ( Base ` G ) )
29	12, 3	grpass 17431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` s ) e. ( Base ` G ) /\ s e. ( Base ` G ) /\ u e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` s ) ( +g ` G ) s ) ( +g ` G ) u ) = ( ( ( invg ` G ) ` s ) ( +g ` G ) ( s ( +g ` G ) u ) ) )
30	10, 23, 15, 28, 29	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` s ) ( +g ` G ) s ) ( +g ` G ) u ) = ( ( ( invg ` G ) ` s ) ( +g ` G ) ( s ( +g ` G ) u ) ) )
31	12, 3, 16	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G e. Grp /\ u e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) u ) = u )
32	10, 28, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( .0. ( +g ` G ) u ) = u )
33	20, 30, 32	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( ( ( invg ` G ) ` s ) ( +g ` G ) ( s ( +g ` G ) u ) ) = u )
34		lsmcntz.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> T e. (SubGrp ` G ) )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( s ( +g ` G ) u ) e. T )
37	3, 4	lsmelvali 18065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` s ) e. S /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` s ) ( +g ` G ) ( s ( +g ` G ) u ) ) e. ( S .(+) T ) )
38	11, 35, 22, 36, 37	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( ( ( invg ` G ) ` s ) ( +g ` G ) ( s ( +g ` G ) u ) ) e. ( S .(+) T ) )
39	33, 38	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> u e. ( S .(+) T ) )
40	39, 27	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> u e. ( ( S .(+) T ) i^i U ) )
41		lsmdisj.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( S .(+) T ) i^i U ) = { .0. } )
42	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( ( S .(+) T ) i^i U ) = { .0. } )
43	40, 42	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> u e. { .0. } )
44		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. { .0. } -> u = .0. )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> u = .0. )
46	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( s ( +g ` G ) u ) = ( s ( +g ` G ) .0. ) )
47	12, 3, 16	grprid 17453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ s e. ( Base ` G ) ) -> ( s ( +g ` G ) .0. ) = s )
48	10, 15, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( s ( +g ` G ) .0. ) = s )
49	46, 48	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( s ( +g ` G ) u ) = s )
50	49, 36	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> s e. T )
51	7, 50	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> s e. ( S i^i T ) )
52		lsmdisj2.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S i^i T ) = { .0. } )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( S i^i T ) = { .0. } )
54	51, 53	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> s e. { .0. } )
55		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. { .0. } -> s = .0. )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> s = .0. )
57	56, 45	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( s ( +g ` G ) u ) = ( .0. ( +g ` G ) .0. ) )
58	12, 16	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. Grp -> .0. e. ( Base ` G ) )
59	9, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` G ) )
60	12, 3, 16	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
61	9, 59, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
63	57, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) /\ ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) -> ( s ( +g ` G ) u ) = .0. )
64	63	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) -> ( ( s ( +g ` G ) u ) e. T -> ( s ( +g ` G ) u ) = .0. ) )
65		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( s ( +g ` G ) u ) -> ( x e. T <-> ( s ( +g ` G ) u ) e. T ) )
66		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( s ( +g ` G ) u ) -> ( x = .0. <-> ( s ( +g ` G ) u ) = .0. ) )
67	65, 66	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( s ( +g ` G ) u ) -> ( ( x e. T -> x = .0. ) <-> ( ( s ( +g ` G ) u ) e. T -> ( s ( +g ` G ) u ) = .0. ) ) )
68	64, 67	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ u e. U ) ) -> ( x = ( s ( +g ` G ) u ) -> ( x e. T -> x = .0. ) ) )
69	68	rexlimdvva 3038	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. s e. S E. u e. U x = ( s ( +g ` G ) u ) -> ( x e. T -> x = .0. ) ) )
70	6, 69	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( S .(+) U ) -> ( x e. T -> x = .0. ) ) )
71	70	com23 86	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. T -> ( x e. ( S .(+) U ) -> x = .0. ) ) )
72	71	impd 447	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. T /\ x e. ( S .(+) U ) ) -> x = .0. ) )
73		elin 3796	. . . 4 |- ( x e. ( T i^i ( S .(+) U ) ) <-> ( x e. T /\ x e. ( S .(+) U ) ) )
74		velsn 4193	. . . 4 |- ( x e. { .0. } <-> x = .0. )
75	72, 73, 74	3imtr4g 285	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( T i^i ( S .(+) U ) ) -> x e. { .0. } ) )
76	75	ssrdv 3609	. 2 |- ( ph -> ( T i^i ( S .(+) U ) ) C_ { .0. } )
77	16	subg0cl 17602	. . . . 5 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. T )
78	34, 77	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. T )
79	4	lsmub1 18071	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> S C_ ( S .(+) U ) )
80	1, 2, 79	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ ( S .(+) U ) )
81	16	subg0cl 17602	. . . . . 6 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. S )
82	1, 81	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. S )
83	80, 82	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. ( S .(+) U ) )
84	78, 83	elind 3798	. . 3 |- ( ph -> .0. e. ( T i^i ( S .(+) U ) ) )
85	84	snssd 4340	. 2 |- ( ph -> { .0. } C_ ( T i^i ( S .(+) U ) ) )
86	76, 85	eqssd 3620	1 |- ( ph -> ( T i^i ( S .(+) U ) ) = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588   LSSumclsm 18049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-lsm 18051

This theorem is referenced by:  lsmdisj3  18096  lsmdisj2r  18098  lsmdisj2a  18100  dprd2da  18441