Theorem lsppratlem3 19149

Description: Lemma for lspprat 19153. In the first case of lsppratlem1 19147, since x e/ ( N ` (/) ), also Y e. ( N ` { x } ), and since y e. ( N ` { X , Y } ) C_ ( N ` { X , x } ) and y e/ ( N ` { x } ), we have X e. ( N ` { x , y } ) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	|- V = ( Base ` W )
lspprat.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspprat.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspprat.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lspprat.u	|- ( ph -> U e. S )
lspprat.x	|- ( ph -> X e. V )
lspprat.y	|- ( ph -> Y e. V )
lspprat.p	|- ( ph -> U C. ( N ` { X , Y } ) )
lsppratlem1.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lsppratlem1.x2	|- ( ph -> x e. ( U \ { .0. } ) )
lsppratlem1.y2	|- ( ph -> y e. ( U \ ( N ` { x } ) ) )
lsppratlem3.x3	|- ( ph -> x e. ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem3	|- ( ph -> ( X e. ( N ` { x , y } ) /\ Y e. ( N ` { x , y } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LVec )
2		lveclmod 19106	. . . . . . . 8 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
4		lspprat.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. V )
5	4	snssd 4340	. . . . . . 7 |- ( ph -> { Y } C_ V )
6		lspprat.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
7		lspprat.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` W )
8	6, 7	lspssv 18983	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ { Y } C_ V ) -> ( N ` { Y } ) C_ V )
9	3, 5, 8	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) C_ V )
10		lsppratlem3.x3	. . . . . 6 |- ( ph -> x e. ( N ` { Y } ) )
11	9, 10	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> x e. V )
12	11	snssd 4340	. . . 4 |- ( ph -> { x } C_ V )
13		lspprat.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
14		lspprat.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U C. ( N ` { X , Y } ) )
15	14	pssssd 3704	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ ( N ` { X , Y } ) )
16	13	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { X } C_ V )
17	12, 16	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { x } u. { X } ) C_ V )
18		lspprat.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( LSubSp ` W )
19	6, 18, 7	lspcl 18976	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( { x } u. { X } ) C_ V ) -> ( N ` ( { x } u. { X } ) ) e. S )
20	3, 17, 19	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N ` ( { x } u. { X } ) ) e. S )
21		df-pr 4180	. . . . . . . . 9 |- { X , Y } = ( { X } u. { Y } )
22	6, 7	lspssid 18985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ ( { x } u. { X } ) C_ V ) -> ( { x } u. { X } ) C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
23	3, 17, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( { x } u. { X } ) C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
24	23	unssbd 3791	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { X } C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
25		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x } C_ ( { x } u. { X } )
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { x } C_ ( { x } u. { X } ) )
27	6, 7	lspss 18984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ ( { x } u. { X } ) C_ V /\ { x } C_ ( { x } u. { X } ) ) -> ( N ` { x } ) C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
28	3, 17, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` { x } ) C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
29		0ss 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (/) C_ V
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (/) C_ V )
31		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (/) u. { Y } ) = ( { Y } u. (/) )
32		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { Y } u. (/) ) = { Y }
33	31, 32	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (/) u. { Y } ) = { Y }
34	33	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N ` ( (/) u. { Y } ) ) = ( N ` { Y } )
35	10, 34	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> x e. ( N ` ( (/) u. { Y } ) ) )
36		lsppratlem1.x2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> x e. ( U \ { .0. } ) )
37	36	eldifbd 3587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -. x e. { .0. } )
38		lsppratlem1.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .0. = ( 0g ` W )
39	38, 7	lsp0 19009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. LMod -> ( N ` (/) ) = { .0. } )
40	3, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N ` (/) ) = { .0. } )
41	37, 40	neleqtrrd 2723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. x e. ( N ` (/) ) )
42	35, 41	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> x e. ( ( N ` ( (/) u. { Y } ) ) \ ( N ` (/) ) ) )
43	6, 18, 7	lspsolv 19143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LVec /\ ( (/) C_ V /\ Y e. V /\ x e. ( ( N ` ( (/) u. { Y } ) ) \ ( N ` (/) ) ) ) ) -> Y e. ( N ` ( (/) u. { x } ) ) )
44	1, 30, 4, 42, 43	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. ( N ` ( (/) u. { x } ) ) )
45		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) u. { x } ) = ( { x } u. (/) )
46		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x } u. (/) ) = { x }
47	45, 46	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) u. { x } ) = { x }
48	47	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` ( (/) u. { x } ) ) = ( N ` { x } )
49	44, 48	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. ( N ` { x } ) )
50	28, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
51	50	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { Y } C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
52	24, 51	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { X } u. { Y } ) C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
53	21, 52	syl5eqss 3649	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { X , Y } C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
54	18, 7	lspssp 18988	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) e. S /\ { X , Y } C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) ) -> ( N ` { X , Y } ) C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
55	3, 20, 53, 54	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
56	15, 55	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> U C_ ( N ` ( { x } u. { X } ) ) )
57	56	ssdifd 3746	. . . . 5 |- ( ph -> ( U \ ( N ` { x } ) ) C_ ( ( N ` ( { x } u. { X } ) ) \ ( N ` { x } ) ) )
58		lsppratlem1.y2	. . . . 5 |- ( ph -> y e. ( U \ ( N ` { x } ) ) )
59	57, 58	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> y e. ( ( N ` ( { x } u. { X } ) ) \ ( N ` { x } ) ) )
60	6, 18, 7	lspsolv 19143	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ ( { x } C_ V /\ X e. V /\ y e. ( ( N ` ( { x } u. { X } ) ) \ ( N ` { x } ) ) ) ) -> X e. ( N ` ( { x } u. { y } ) ) )
61	1, 12, 13, 59, 60	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ph -> X e. ( N ` ( { x } u. { y } ) ) )
62		df-pr 4180	. . . 4 |- { x , y } = ( { x } u. { y } )
63	62	fveq2i 6194	. . 3 |- ( N ` { x , y } ) = ( N ` ( { x } u. { y } ) )
64	61, 63	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ph -> X e. ( N ` { x , y } ) )
65		lspprat.u	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. S )
66	6, 18	lssss 18937	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. S -> U C_ V )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U C_ V )
68	67	ssdifssd 3748	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U \ ( N ` { x } ) ) C_ V )
69	68, 58	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> y e. V )
70	69	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ph -> { y } C_ V )
71	12, 70	unssd 3789	. . . . 5 |- ( ph -> ( { x } u. { y } ) C_ V )
72	62, 71	syl5eqss 3649	. . . 4 |- ( ph -> { x , y } C_ V )
73		snsspr1 4345	. . . . 5 |- { x } C_ { x , y }
74	73	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { x } C_ { x , y } )
75	6, 7	lspss 18984	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ { x , y } C_ V /\ { x } C_ { x , y } ) -> ( N ` { x } ) C_ ( N ` { x , y } ) )
76	3, 72, 74, 75	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { x } ) C_ ( N ` { x , y } ) )
77	76, 49	sseldd 3604	. 2 |- ( ph -> Y e. ( N ` { x , y } ) )
78	64, 77	jca 554	1 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { x , y } ) /\ Y e. ( N ` { x , y } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19151