Theorem mat2pmatf1 20534

Description: The matrix transformation is a 1-1 function from the matrices to the polynomial matrices. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
mat2pmatbas.a	|- A = ( N Mat R )
mat2pmatbas.b	|- B = ( Base ` A )
mat2pmatbas.p	|- P = (Poly1 ` R )
mat2pmatbas.c	|- C = ( N Mat P )
mat2pmatbas0.h	|- H = ( Base ` C )

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatf1	|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T : B -1-1-> H )

Proof of Theorem mat2pmatf1

Dummy variables x y i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat2pmatbas.t	. . 3 |- T = ( N matToPolyMat R )
2		mat2pmatbas.a	. . 3 |- A = ( N Mat R )
3		mat2pmatbas.b	. . 3 |- B = ( Base ` A )
4		mat2pmatbas.p	. . 3 |- P = (Poly1 ` R )
5		mat2pmatbas.c	. . 3 |- C = ( N Mat P )
6		mat2pmatbas0.h	. . 3 |- H = ( Base ` C )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mat2pmatf 20533	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T : B --> H )
8		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> x e. B )
9	8	anim2i 593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. B ) )
10		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ x e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. B ) )
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ x e. B ) )
12		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (algSc ` P ) = (algSc ` P )
13	1, 2, 3, 4, 12	mat2pmatvalel 20530	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ x e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( T ` x ) j ) = ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) )
14	11, 13	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( T ` x ) j ) = ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) )
15		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> y e. B )
16	15	anim2i 593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. B ) )
17		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. B ) )
18	16, 17	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. B ) )
19	1, 2, 3, 4, 12	mat2pmatvalel 20530	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( T ` y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) )
20	18, 19	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( T ` y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) )
21	14, 20	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( i ( T ` x ) j ) = ( i ( T ` y ) j ) <-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) )
22		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
23		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
24	4, 12, 22, 23	ply1sclf1 19659	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> (algSc ` P ) : ( Base ` R ) -1-1-> ( Base ` P ) )
25	24	ad3antlr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> (algSc ` P ) : ( Base ` R ) -1-1-> ( Base ` P ) )
26		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N )
27		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N )
28		simplrl 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> x e. B )
29	2, 22, 3, 26, 27, 28	matecld 20232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i x j ) e. ( Base ` R ) )
30		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> y e. B )
31	2, 22, 3, 26, 27, 30	matecld 20232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i y j ) e. ( Base ` R ) )
32		f1veqaeq 6514	. . . . . . 7 |- ( ( (algSc ` P ) : ( Base ` R ) -1-1-> ( Base ` P ) /\ ( ( i x j ) e. ( Base ` R ) /\ ( i y j ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) -> ( i x j ) = ( i y j ) ) )
33	25, 29, 31, 32	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) -> ( i x j ) = ( i y j ) ) )
34	21, 33	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( i ( T ` x ) j ) = ( i ( T ` y ) j ) -> ( i x j ) = ( i y j ) ) )
35	34	ralimdvva 2964	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i ( T ` x ) j ) = ( i ( T ` y ) j ) -> A. i e. N A. j e. N ( i x j ) = ( i y j ) ) )
36	1, 2, 3, 4, 5, 6	mat2pmatbas0 20532	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ x e. B ) -> ( T ` x ) e. H )
37	11, 36	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( T ` x ) e. H )
38	1, 2, 3, 4, 5, 6	mat2pmatbas0 20532	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. B ) -> ( T ` y ) e. H )
39	18, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( T ` y ) e. H )
40	5, 6	eqmat 20230	. . . . 5 |- ( ( ( T ` x ) e. H /\ ( T ` y ) e. H ) -> ( ( T ` x ) = ( T ` y ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( T ` x ) j ) = ( i ( T ` y ) j ) ) )
41	37, 39, 40	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( T ` x ) = ( T ` y ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( T ` x ) j ) = ( i ( T ` y ) j ) ) )
42	2, 3	eqmat 20230	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x = y <-> A. i e. N A. j e. N ( i x j ) = ( i y j ) ) )
43	42	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x = y <-> A. i e. N A. j e. N ( i x j ) = ( i y j ) ) )
44	35, 41, 43	3imtr4d 283	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
45	44	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A. x e. B A. y e. B ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
46		dff13 6512	. 2 |- ( T : B -1-1-> H <-> ( T : B --> H /\ A. x e. B A. y e. B ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) ) )
47	7, 45, 46	sylanbrc 698	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T : B -1-1-> H )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   Ringcrg 18547  algSccascl 19311  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512

This theorem is referenced by:  m2cpmf1  20548