Theorem mat2pmatghm 20535

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
mat2pmatbas.a	|- A = ( N Mat R )
mat2pmatbas.b	|- B = ( Base ` A )
mat2pmatbas.p	|- P = (Poly1 ` R )
mat2pmatbas.c	|- C = ( N Mat P )
mat2pmatbas0.h	|- H = ( Base ` C )

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatghm	|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T e. ( A GrpHom C ) )

Proof of Theorem mat2pmatghm

Dummy variables x y i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat2pmatbas.b	. 2 |- B = ( Base ` A )
2		mat2pmatbas0.h	. 2 |- H = ( Base ` C )
3		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` A ) = ( +g ` A )
4		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` C ) = ( +g ` C )
5		mat2pmatbas.a	. . 3 |- A = ( N Mat R )
6	5	matgrp 20236	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Grp )
7		mat2pmatbas.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
8		mat2pmatbas.c	. . . 4 |- C = ( N Mat P )
9	7, 8	pmatring 20498	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
10		ringgrp 18552	. . 3 |- ( C e. Ring -> C e. Grp )
11	9, 10	syl 17	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Grp )
12		mat2pmatbas.t	. . 3 |- T = ( N matToPolyMat R )
13	12, 5, 1, 7, 8, 2	mat2pmatf 20533	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T : B --> H )
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
15		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> N e. Fin )
16	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> N e. Fin )
17	7	ply1ring 19618	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
18	17	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. Ring )
19		simp1lr 1125	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Ring )
20		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
21		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> i e. N )
22		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> j e. N )
23		simp1rl 1126	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> x e. B )
24	5, 20, 1, 21, 22, 23	matecld 20232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i x j ) e. ( Base ` R ) )
25		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (algSc ` P ) = (algSc ` P )
26	7, 25, 20, 14	ply1sclcl 19656	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( i x j ) e. ( Base ` R ) ) -> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) e. ( Base ` P ) )
27	19, 24, 26	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) e. ( Base ` P ) )
28	8, 14, 2, 16, 18, 27	matbas2d 20229	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) e. H )
29		simp1rr 1127	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> y e. B )
30	5, 20, 1, 21, 22, 29	matecld 20232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i y j ) e. ( Base ` R ) )
31	7, 25, 20, 14	ply1sclcl 19656	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( i y j ) e. ( Base ` R ) ) -> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) e. ( Base ` P ) )
32	19, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) e. ( Base ` P ) )
33	8, 14, 2, 16, 18, 32	matbas2d 20229	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) e. H )
34		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
35	8, 2, 4, 34	matplusg2 20233	. . . . 5 |- ( ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) e. H /\ ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) e. H ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) ( +g ` C ) ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) oF ( +g ` P ) ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) )
36	28, 33, 35	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) ( +g ` C ) ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) oF ( +g ` P ) ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) )
37		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) e. _V )
38		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) e. _V )
39		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) )
40		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) )
41	16, 16, 37, 38, 39, 40	offval22 7253	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) oF ( +g ` P ) ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ( +g ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x e. B /\ y e. B ) )
43	42	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( x e. B /\ y e. B ) )
44		3simpc 1060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i e. N /\ j e. N ) )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
46	5, 1, 3, 45	matplusgcell 20239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( x ( +g ` A ) y ) j ) = ( ( i x j ) ( +g ` R ) ( i y j ) ) )
47	43, 44, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i ( x ( +g ` A ) y ) j ) = ( ( i x j ) ( +g ` R ) ( i y j ) ) )
48	7	ply1sca 19623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Ring -> R = (Scalar ` P ) )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R = (Scalar ` P ) )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` (Scalar ` P ) ) )
51	50	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( i x j ) ( +g ` R ) ( i y j ) ) = ( ( i x j ) ( +g ` (Scalar ` P ) ) ( i y j ) ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i x j ) ( +g ` R ) ( i y j ) ) = ( ( i x j ) ( +g ` (Scalar ` P ) ) ( i y j ) ) )
53	52	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( i x j ) ( +g ` R ) ( i y j ) ) = ( ( i x j ) ( +g ` (Scalar ` P ) ) ( i y j ) ) )
54	47, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i ( x ( +g ` A ) y ) j ) = ( ( i x j ) ( +g ` (Scalar ` P ) ) ( i y j ) ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( i ( x ( +g ` A ) y ) j ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( ( i x j ) ( +g ` (Scalar ` P ) ) ( i y j ) ) ) )
56		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
57	18	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> P e. Ring )
58	7	ply1lmod 19622	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> P e. LMod )
59	58	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. LMod )
60	59	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> P e. LMod )
61	25, 56, 57, 60	asclghm 19338	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> (algSc ` P ) e. ( (Scalar ` P ) GrpHom P ) )
62	49	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (Scalar ` P ) = R )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` R ) )
64	63	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( i x j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) <-> ( i x j ) e. ( Base ` R ) ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i x j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) <-> ( i x j ) e. ( Base ` R ) ) )
66	65	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( i x j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) <-> ( i x j ) e. ( Base ` R ) ) )
67	24, 66	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i x j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
68	63	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( i y j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) <-> ( i y j ) e. ( Base ` R ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i y j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) <-> ( i y j ) e. ( Base ` R ) ) )
70	69	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( i y j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) <-> ( i y j ) e. ( Base ` R ) ) )
71	30, 70	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i y j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
72		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` (Scalar ` P ) )
73		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` (Scalar ` P ) ) = ( +g ` (Scalar ` P ) )
74	72, 73, 34	ghmlin 17665	. . . . . . . 8 |- ( ( (algSc ` P ) e. ( (Scalar ` P ) GrpHom P ) /\ ( i x j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) /\ ( i y j ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) ) -> ( (algSc ` P ) ` ( ( i x j ) ( +g ` (Scalar ` P ) ) ( i y j ) ) ) = ( ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ( +g ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) )
75	61, 67, 71, 74	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( ( i x j ) ( +g ` (Scalar ` P ) ) ( i y j ) ) ) = ( ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ( +g ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) )
76	55, 75	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ( +g ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( i ( x ( +g ` A ) y ) j ) ) )
77	76	mpt2eq3dva 6719	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ( +g ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i ( x ( +g ` A ) y ) j ) ) ) )
78	41, 77	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) oF ( +g ` P ) ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i ( x ( +g ` A ) y ) j ) ) ) )
79	36, 78	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i ( x ( +g ` A ) y ) j ) ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) ( +g ` C ) ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) )
80		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
81	5	matring 20249	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
82		ringmnd 18556	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Ring -> A e. Mnd )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Mnd )
84	83	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( A e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) )
85		3anass 1042	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) <-> ( A e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) )
86	84, 85	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( A e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) )
87	1, 3	mndcl 17301	. . . . . 6 |- ( ( A e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` A ) y ) e. B )
88	86, 87	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` A ) y ) e. B )
89		df-3an 1039	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( x ( +g ` A ) y ) e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x ( +g ` A ) y ) e. B ) )
90	80, 88, 89	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( x ( +g ` A ) y ) e. B ) )
91	12, 5, 1, 7, 25	mat2pmatval 20529	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( x ( +g ` A ) y ) e. B ) -> ( T ` ( x ( +g ` A ) y ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i ( x ( +g ` A ) y ) j ) ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( T ` ( x ( +g ` A ) y ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i ( x ( +g ` A ) y ) j ) ) ) )
93		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> x e. B )
94	93	anim2i 593	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. B ) )
95		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ x e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. B ) )
96	94, 95	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ x e. B ) )
97	12, 5, 1, 7, 25	mat2pmatval 20529	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ x e. B ) -> ( T ` x ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) )
98	96, 97	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( T ` x ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) )
99		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> y e. B )
100	99	anim2i 593	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. B ) )
101		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. B ) )
102	100, 101	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. B ) )
103	12, 5, 1, 7, 25	mat2pmatval 20529	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. B ) -> ( T ` y ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) )
104	102, 103	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( T ` y ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) )
105	98, 104	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( T ` x ) ( +g ` C ) ( T ` y ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) ( +g ` C ) ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) )
106	79, 92, 105	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( T ` ( x ( +g ` A ) y ) ) = ( ( T ` x ) ( +g ` C ) ( T ` y ) ) )
107	1, 2, 3, 4, 6, 11, 13, 106	isghmd 17669	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T e. ( A GrpHom C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   oFcof 6895   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  algSccascl 19311  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512

This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  20539  0mat2pmat  20541  m2cpmghm  20549  pm2mp  20630  cayhamlem4  20693