Theorem mdegxrcl 23827

Description: Closure of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegxrcl.d	|- D = ( I mDeg R )
mdegxrcl.p	|- P = ( I mPoly R )
mdegxrcl.b	|- B = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
mdegxrcl	|- ( F e. B -> ( D ` F ) e. RR* )

Proof of Theorem mdegxrcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegxrcl.d	. . 3 |- D = ( I mDeg R )
2		mdegxrcl.p	. . 3 |- P = ( I mPoly R )
3		mdegxrcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` P )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
5		eqid 2622	. . 3 |- { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } = { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin }
6		eqid 2622	. . 3 |- ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) = ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 23823	. 2 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) )
8		imassrn 5477	. . . 4 |- ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) C_ ran ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) )
9	2, 3	mplrcl 19490	. . . . . 6 |- ( F e. B -> I e. _V )
10	5, 6	tdeglem1 23818	. . . . . 6 |- ( I e. _V -> ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) : { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } --> NN0 )
11		frn 6053	. . . . . 6 |- ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) : { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } --> NN0 -> ran ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) C_ NN0 )
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . 5 |- ( F e. B -> ran ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) C_ NN0 )
13		nn0ssre 11296	. . . . . 6 |- NN0 C_ RR
14		ressxr 10083	. . . . . 6 |- RR C_ RR*
15	13, 14	sstri 3612	. . . . 5 |- NN0 C_ RR*
16	12, 15	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( F e. B -> ran ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) C_ RR* )
17	8, 16	syl5ss 3614	. . 3 |- ( F e. B -> ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) C_ RR* )
18		supxrcl 12145	. . 3 |- ( ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) C_ RR* -> sup ( ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
19	17, 18	syl 17	. 2 |- ( F e. B -> sup ( ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
20	7, 19	eqeltrd 2701	1 |- ( F e. B -> ( D ` F ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   mPoly cmpl 19353  ℂ_fldccnfld 19746   mDeg cmdg 23813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815

This theorem is referenced by:  mdegxrf  23828  mdegaddle  23834  mdegvscale  23835  mdegmullem  23838