Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendring Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem mendring 37762
Description: The module endomorphism algebra is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mendassa.a |- A = (MEndo ` M )
Assertion
Ref Expression
mendring |- ( M e. LMod -> A e. Ring )
Proof of Theorem mendring
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4 |- A = (MEndo ` M )
21mendbas 37754 . . 3 |- ( M LMHom M ) = ( Base ` A )
32a1i 11 . 2 |- ( M e. LMod -> ( M LMHom M ) = ( Base ` A ) )
4 eqidd 2623 . 2 |- ( M e. LMod -> ( +g ` A ) = ( +g ` A ) )
5 eqidd 2623 . 2 |- ( M e. LMod -> ( .r ` A ) = ( .r ` A ) )
6 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
7 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( +g ` A ) = ( +g ` A )
81, 2, 6, 7mendplusg 37756 . . . . 5 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( +g ` A ) y ) = ( x oF ( +g ` M ) y ) )
96lmhmplusg 19044 . . . . 5 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x oF ( +g ` M ) y ) e. ( M LMHom M ) )
108, 9eqeltrd 2701 . . . 4 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( +g ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) )
11103adant1 1079 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( +g ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) )
12 simpr1 1067 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x e. ( M LMHom M ) )
13 simpr2 1068 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> y e. ( M LMHom M ) )
1412, 13, 9syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x oF ( +g ` M ) y ) e. ( M LMHom M ) )
15 simpr3 1069 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> z e. ( M LMHom M ) )
161, 2, 6, 7mendplusg 37756 . . . . 5 |- ( ( ( x oF ( +g ` M ) y ) e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( +g ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) oF ( +g ` M ) z ) )
1714, 15, 16syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( +g ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) oF ( +g ` M ) z ) )
1812, 13, 8syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( +g ` A ) y ) = ( x oF ( +g ` M ) y ) )
1918oveq1d 6665 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( +g ` A ) y ) ( +g ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( +g ` A ) z ) )
206lmhmplusg 19044 . . . . . . 7 |- ( ( y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y oF ( +g ` M ) z ) e. ( M LMHom M ) )
2113, 15, 20syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y oF ( +g ` M ) z ) e. ( M LMHom M ) )
221, 2, 6, 7mendplusg 37756 . . . . . 6 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ ( y oF ( +g ` M ) z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( +g ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( x oF ( +g ` M ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
2312, 21, 22syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( +g ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( x oF ( +g ` M ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
241, 2, 6, 7mendplusg 37756 . . . . . . 7 |- ( ( y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y ( +g ` A ) z ) = ( y oF ( +g ` M ) z ) )
2513, 15, 24syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y ( +g ` A ) z ) = ( y oF ( +g ` M ) z ) )
2625oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( +g ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( x ( +g ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
27 lmodgrp 18870 . . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
28 grpmnd 17429 . . . . . . . 8 |- ( M e. Grp -> M e. Mnd )
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 |- ( M e. LMod -> M e. Mnd )
3029adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> M e. Mnd )
31 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3231, 31lmhmf 19034 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( M LMHom M ) -> x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
3312, 32syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
34 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( Base ` M ) e. _V
3534, 34elmap 7886 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) <-> x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
3633, 35sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) )
3731, 31lmhmf 19034 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( M LMHom M ) -> y : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
3813, 37syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> y : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
3934, 34elmap 7886 . . . . . . 7 |- ( y e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) <-> y : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
4038, 39sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> y e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) )
4131, 31lmhmf 19034 . . . . . . . 8 |- ( z e. ( M LMHom M ) -> z : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
4215, 41syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> z : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
4334, 34elmap 7886 . . . . . . 7 |- ( z e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) <-> z : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
4442, 43sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> z e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) )
4531, 6mndvass 20198 . . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ ( x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) /\ y e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) /\ z e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) oF ( +g ` M ) z ) = ( x oF ( +g ` M ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
4630, 36, 40, 44, 45syl13anc 1328 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) oF ( +g ` M ) z ) = ( x oF ( +g ` M ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
4723, 26, 463eqtr4d 2666 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( +g ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) oF ( +g ` M ) z ) )
4817, 19, 473eqtr4d 2666 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( +g ` A ) y ) ( +g ` A ) z ) = ( x ( +g ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) )
49 id 22 . . . 4 |- ( M e. LMod -> M e. LMod )
50 eqidd 2623 . . . 4 |- ( M e. LMod -> (Scalar ` M ) = (Scalar ` M ) )
51 eqid 2622 . . . . 5 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
52 eqid 2622 . . . . 5 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
5351, 31, 52, 520lmhm 19040 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ M e. LMod /\ (Scalar ` M ) = (Scalar ` M ) ) -> ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) e. ( M LMHom M ) )
5449, 49, 50, 53syl3anc 1326 . . 3 |- ( M e. LMod -> ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) e. ( M LMHom M ) )
551, 2, 6, 7mendplusg 37756 . . . . 5 |- ( ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) e. ( M LMHom M ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) ( +g ` A ) x ) = ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) oF ( +g ` M ) x ) )
5654, 55sylan 488 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) ( +g ` A ) x ) = ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) oF ( +g ` M ) x ) )
5732, 35sylibr 224 . . . . 5 |- ( x e. ( M LMHom M ) -> x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) )
5831, 6, 51mndvlid 20199 . . . . 5 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) oF ( +g ` M ) x ) = x )
5929, 57, 58syl2an 494 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) oF ( +g ` M ) x ) = x )
6056, 59eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) ( +g ` A ) x ) = x )
61 eqid 2622 . . . . 5 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
6261invlmhm 19042 . . . 4 |- ( M e. LMod -> ( invg ` M ) e. ( M LMHom M ) )
63 lmhmco 19043 . . . 4 |- ( ( ( invg ` M ) e. ( M LMHom M ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( invg ` M ) o. x ) e. ( M LMHom M ) )
6462, 63sylan 488 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( invg ` M ) o. x ) e. ( M LMHom M ) )
651, 2, 6, 7mendplusg 37756 . . . . 5 |- ( ( ( ( invg ` M ) o. x ) e. ( M LMHom M ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( invg ` M ) o. x ) ( +g ` A ) x ) = ( ( ( invg ` M ) o. x ) oF ( +g ` M ) x ) )
6664, 65sylancom 701 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( invg ` M ) o. x ) ( +g ` A ) x ) = ( ( ( invg ` M ) o. x ) oF ( +g ` M ) x ) )
6731, 6, 61, 51grpvlinv 20201 . . . . 5 |- ( ( M e. Grp /\ x e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) ) -> ( ( ( invg ` M ) o. x ) oF ( +g ` M ) x ) = ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) )
6827, 57, 67syl2an 494 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( invg ` M ) o. x ) oF ( +g ` M ) x ) = ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) )
6966, 68eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( invg ` M ) o. x ) ( +g ` A ) x ) = ( ( Base ` M ) X. { ( 0g ` M ) } ) )
703, 4, 11, 48, 54, 60, 64, 69isgrpd 17444 . 2 |- ( M e. LMod -> A e. Grp )
71 eqid 2622 . . . . 5 |- ( .r ` A ) = ( .r ` A )
721, 2, 71mendmulr 37758 . . . 4 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) = ( x o. y ) )
73 lmhmco 19043 . . . 4 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x o. y ) e. ( M LMHom M ) )
7472, 73eqeltrd 2701 . . 3 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) )
75743adant1 1079 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) )
76 coass 5654 . . 3 |- ( ( x o. y ) o. z ) = ( x o. ( y o. z ) )
7712, 13, 72syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) = ( x o. y ) )
7877oveq1d 6665 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x o. y ) ( .r ` A ) z ) )
7912, 13, 73syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x o. y ) e. ( M LMHom M ) )
801, 2, 71mendmulr 37758 . . . . 5 |- ( ( ( x o. y ) e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x o. y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x o. y ) o. z ) )
8179, 15, 80syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x o. y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x o. y ) o. z ) )
8278, 81eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x o. y ) o. z ) )
831, 2, 71mendmulr 37758 . . . . . 6 |- ( ( y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y ( .r ` A ) z ) = ( y o. z ) )
8413, 15, 83syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y ( .r ` A ) z ) = ( y o. z ) )
8584oveq2d 6666 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) = ( x ( .r ` A ) ( y o. z ) ) )
86 lmhmco 19043 . . . . . 6 |- ( ( y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y o. z ) e. ( M LMHom M ) )
8713, 15, 86syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y o. z ) e. ( M LMHom M ) )
881, 2, 71mendmulr 37758 . . . . 5 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ ( y o. z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y o. z ) ) = ( x o. ( y o. z ) ) )
8912, 87, 88syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y o. z ) ) = ( x o. ( y o. z ) ) )
9085, 89eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) = ( x o. ( y o. z ) ) )
9176, 82, 903eqtr4a 2682 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( x ( .r ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) )
921, 2, 71mendmulr 37758 . . . 4 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ ( y oF ( +g ` M ) z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( x o. ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
9312, 21, 92syl2anc 693 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( x o. ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
9425oveq2d 6666 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( x ( .r ` A ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
95 lmhmco 19043 . . . . . 6 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( x o. z ) e. ( M LMHom M ) )
9612, 15, 95syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x o. z ) e. ( M LMHom M ) )
971, 2, 6, 7mendplusg 37756 . . . . 5 |- ( ( ( x o. y ) e. ( M LMHom M ) /\ ( x o. z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x o. y ) ( +g ` A ) ( x o. z ) ) = ( ( x o. y ) oF ( +g ` M ) ( x o. z ) ) )
9879, 96, 97syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x o. y ) ( +g ` A ) ( x o. z ) ) = ( ( x o. y ) oF ( +g ` M ) ( x o. z ) ) )
991, 2, 71mendmulr 37758 . . . . . 6 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) z ) = ( x o. z ) )
10012, 15, 99syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) z ) = ( x o. z ) )
10177, 100oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) y ) ( +g ` A ) ( x ( .r ` A ) z ) ) = ( ( x o. y ) ( +g ` A ) ( x o. z ) ) )
102 lmghm 19031 . . . . . 6 |- ( x e. ( M LMHom M ) -> x e. ( M GrpHom M ) )
103 ghmmhm 17670 . . . . . 6 |- ( x e. ( M GrpHom M ) -> x e. ( M MndHom M ) )
10412, 102, 1033syl 18 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x e. ( M MndHom M ) )
10531, 6, 6mhmvlin 20203 . . . . 5 |- ( ( x e. ( M MndHom M ) /\ y e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) /\ z e. ( ( Base ` M ) ^m ( Base ` M ) ) ) -> ( x o. ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( ( x o. y ) oF ( +g ` M ) ( x o. z ) ) )
106104, 40, 44, 105syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x o. ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( ( x o. y ) oF ( +g ` M ) ( x o. z ) ) )
10798, 101, 1063eqtr4d 2666 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) y ) ( +g ` A ) ( x ( .r ` A ) z ) ) = ( x o. ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
10893, 94, 1073eqtr4d 2666 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( ( x ( .r ` A ) y ) ( +g ` A ) ( x ( .r ` A ) z ) ) )
1091, 2, 71mendmulr 37758 . . . 4 |- ( ( ( x oF ( +g ` M ) y ) e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) o. z ) )
11014, 15, 109syl2anc 693 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) o. z ) )
11118oveq1d 6665 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( +g ` A ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) ( .r ` A ) z ) )
1121, 2, 6, 7mendplusg 37756 . . . . 5 |- ( ( ( x o. z ) e. ( M LMHom M ) /\ ( y o. z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x o. z ) ( +g ` A ) ( y o. z ) ) = ( ( x o. z ) oF ( +g ` M ) ( y o. z ) ) )
11396, 87, 112syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x o. z ) ( +g ` A ) ( y o. z ) ) = ( ( x o. z ) oF ( +g ` M ) ( y o. z ) ) )
114100, 84oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) z ) ( +g ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) = ( ( x o. z ) ( +g ` A ) ( y o. z ) ) )
115 ffn 6045 . . . . . 6 |- ( x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) -> x Fn ( Base ` M ) )
11612, 32, 1153syl 18 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x Fn ( Base ` M ) )
117 ffn 6045 . . . . . 6 |- ( y : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) -> y Fn ( Base ` M ) )
11813, 37, 1173syl 18 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> y Fn ( Base ` M ) )
11934a1i 11 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( Base ` M ) e. _V )
120 inidm 3822 . . . . 5 |- ( ( Base ` M ) i^i ( Base ` M ) ) = ( Base ` M )
121116, 118, 42, 119, 119, 119, 120ofco 6917 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x oF ( +g ` M ) y ) o. z ) = ( ( x o. z ) oF ( +g ` M ) ( y o. z ) ) )
122113, 114, 1213eqtr4d 2666 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` A ) z ) ( +g ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) = ( ( x oF ( +g ` M ) y ) o. z ) )
123110, 111, 1223eqtr4d 2666 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( M LMHom M ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( +g ` A ) y ) ( .r ` A ) z ) = ( ( x ( .r ` A ) z ) ( +g ` A ) ( y ( .r ` A ) z ) ) )
12431idlmhm 19041 . 2 |- ( M e. LMod -> ( _I |` ( Base ` M ) ) e. ( M LMHom M ) )
1251, 2, 71mendmulr 37758 . . . 4 |- ( ( ( _I |` ( Base ` M ) ) e. ( M LMHom M ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` M ) ) ( .r ` A ) x ) = ( ( _I |` ( Base ` M ) ) o. x ) )
126124, 125sylan 488 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` M ) ) ( .r ` A ) x ) = ( ( _I |` ( Base ` M ) ) o. x ) )
12732adantl 482 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
128 fcoi2 6079 . . . 4 |- ( x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) -> ( ( _I |` ( Base ` M ) ) o. x ) = x )
129127, 128syl 17 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` M ) ) o. x ) = x )
130126, 129eqtrd 2656 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` M ) ) ( .r ` A ) x ) = x )
131 id 22 . . . 4 |- ( x e. ( M LMHom M ) -> x e. ( M LMHom M ) )
1321, 2, 71mendmulr 37758 . . . 4 |- ( ( x e. ( M LMHom M ) /\ ( _I |` ( Base ` M ) ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( _I |` ( Base ` M ) ) ) = ( x o. ( _I |` ( Base ` M ) ) ) )
133131, 124, 132syl2anr 495 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( _I |` ( Base ` M ) ) ) = ( x o. ( _I |` ( Base ` M ) ) ) )
134 fcoi1 6078 . . . 4 |- ( x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) -> ( x o. ( _I |` ( Base ` M ) ) ) = x )
135127, 134syl 17 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( x o. ( _I |` ( Base ` M ) ) ) = x )
136133, 135eqtrd 2656 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .r ` A ) ( _I |` ( Base ` M ) ) ) = x )
1373, 4, 5, 70, 75, 91, 108, 123, 124, 130, 136isringd 18585 1 |- ( M e. LMod -> A e. Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   _I cid 5023   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   GrpHom cghm 17657   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   LMHom clmhm 19019  MEndocmend 37745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-mend 37746
This theorem is referenced by:  mendlmod  37763  mendassa  37764
  Copyright terms: Public domain W3C validator