MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  midbtwn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem midbtwn 25671
Description: Betweenness of midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
ismid.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
ismid.i  |-  I  =  (Itv `  G )
ismid.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
ismid.1  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
midcl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
midcl.2  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
Assertion
Ref Expression
midbtwn  |-  ( ph  ->  ( A (midG `  G ) B )  e.  ( A I B ) )

Proof of Theorem midbtwn
StepHypRef Expression
1 ismid.p . 2  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 ismid.d . 2  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 ismid.i . 2  |-  I  =  (Itv `  G )
4 ismid.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 midcl.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
6 ismid.1 . . 3  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
7 midcl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
81, 2, 3, 4, 6, 7, 5midcl 25669 . 2  |-  ( ph  ->  ( A (midG `  G ) B )  e.  P )
9 eqid 2622 . . . 4  |-  (LineG `  G )  =  (LineG `  G )
10 eqid 2622 . . . 4  |-  (pInvG `  G )  =  (pInvG `  G )
11 eqid 2622 . . . 4  |-  ( (pInvG `  G ) `  ( A (midG `  G ) B ) )  =  ( (pInvG `  G
) `  ( A
(midG `  G ) B ) )
121, 2, 3, 9, 10, 4, 8, 11, 7mirbtwn 25553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (midG `  G ) B )  e.  ( ( ( (pInvG `  G ) `  ( A (midG `  G ) B ) ) `  A ) I A ) )
13 eqidd 2623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (midG `  G ) B )  =  ( A (midG `  G ) B ) )
141, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 10, 8ismidb 25670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  =  ( ( (pInvG `  G
) `  ( A
(midG `  G ) B ) ) `  A )  <->  ( A
(midG `  G ) B )  =  ( A (midG `  G
) B ) ) )
1513, 14mpbird 247 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( (pInvG `  G ) `  ( A (midG `  G ) B ) ) `  A ) )
1615oveq1d 6665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B I A )  =  ( ( ( (pInvG `  G
) `  ( A
(midG `  G ) B ) ) `  A ) I A ) )
1712, 16eleqtrrd 2704 . 2  |-  ( ph  ->  ( A (midG `  G ) B )  e.  ( B I A ) )
181, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 17tgbtwncom 25383 1  |-  ( ph  ->  ( A (midG `  G ) B )  e.  ( A I B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1483    e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   2c2 11070   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  DimTarskiGcstrkgld 25333  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  pInvGcmir 25547  midGcmid 25664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkgld 25351  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-leg 25478  df-mir 25548  df-rag 25589  df-perpg 25591  df-mid 25666
This theorem is referenced by:  midid  25673  midcom  25674  lmieu  25676  lmimid  25686  lmiisolem  25688  hypcgrlem1  25691  hypcgrlem2  25692  lmiopp  25694
  Copyright terms: Public domain W3C validator