Theorem minveclem3a 23198

Description: Lemma for minvec 23207. D is a complete metric when restricted to Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )
minvec.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvec.s	|- S = inf ( R , RR , < )
minvec.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )

Assertion

Ref	Expression
minveclem3a	|- ( ph -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) )

Distinct variable groups:   y, .-   y, A   y, J   y, N   ph, y   y, R   y, U   y, X   y, Y   y, D   y, S

Proof of Theorem minveclem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.w	. . 3 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( U ↾s Y ) ) = ( Base ` ( U ↾s Y ) )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( dist ` ( U ↾s Y ) ) |` ( ( Base ` ( U ↾s Y ) ) X. ( Base ` ( U ↾s Y ) ) ) ) = ( ( dist ` ( U ↾s Y ) ) |` ( ( Base ` ( U ↾s Y ) ) X. ( Base ` ( U ↾s Y ) ) ) )
4	2, 3	cmscmet 23143	. . 3 |- ( ( U ↾s Y ) e. CMetSp -> ( ( dist ` ( U ↾s Y ) ) |` ( ( Base ` ( U ↾s Y ) ) X. ( Base ` ( U ↾s Y ) ) ) ) e. ( CMet ` ( Base ` ( U ↾s Y ) ) ) )
5	1, 4	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( dist ` ( U ↾s Y ) ) |` ( ( Base ` ( U ↾s Y ) ) X. ( Base ` ( U ↾s Y ) ) ) ) e. ( CMet ` ( Base ` ( U ↾s Y ) ) ) )
6		minvec.d	. . . 4 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
7	6	reseq1i 5392	. . 3 |- ( D |` ( Y X. Y ) ) = ( ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) |` ( Y X. Y ) )
8		minvec.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
9		minvec.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` U )
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
11	9, 10	lssss 18937	. . . . . . 7 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
12	8, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> Y C_ X )
13		xpss12 5225	. . . . . 6 |- ( ( Y C_ X /\ Y C_ X ) -> ( Y X. Y ) C_ ( X X. X ) )
14	12, 12, 13	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y X. Y ) C_ ( X X. X ) )
15	14	resabs1d 5428	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) |` ( Y X. Y ) ) = ( ( dist ` U ) |` ( Y X. Y ) ) )
16		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( U ↾s Y ) = ( U ↾s Y )
17		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
18	16, 17	ressds 16073	. . . . . 6 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> ( dist ` U ) = ( dist ` ( U ↾s Y ) ) )
19	8, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( dist ` U ) = ( dist ` ( U ↾s Y ) ) )
20	16, 9	ressbas2 15931	. . . . . . 7 |- ( Y C_ X -> Y = ( Base ` ( U ↾s Y ) ) )
21	12, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> Y = ( Base ` ( U ↾s Y ) ) )
22	21	sqxpeqd 5141	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y X. Y ) = ( ( Base ` ( U ↾s Y ) ) X. ( Base ` ( U ↾s Y ) ) ) )
23	19, 22	reseq12d 5397	. . . 4 |- ( ph -> ( ( dist ` U ) |` ( Y X. Y ) ) = ( ( dist ` ( U ↾s Y ) ) |` ( ( Base ` ( U ↾s Y ) ) X. ( Base ` ( U ↾s Y ) ) ) ) )
24	15, 23	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) |` ( Y X. Y ) ) = ( ( dist ` ( U ↾s Y ) ) |` ( ( Base ` ( U ↾s Y ) ) X. ( Base ` ( U ↾s Y ) ) ) ) )
25	7, 24	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> ( D |` ( Y X. Y ) ) = ( ( dist ` ( U ↾s Y ) ) |` ( ( Base ` ( U ↾s Y ) ) X. ( Base ` ( U ↾s Y ) ) ) ) )
26	21	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( CMet ` Y ) = ( CMet ` ( Base ` ( U ↾s Y ) ) ) )
27	5, 25, 26	3eltr4d 2716	1 |- ( ph -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   -gcsg 17424   LSubSpclss 18932   normcnm 22381   CPreHilccph 22966   CMetcms 23052  CMetSpccms 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-ds 15964  df-lss 18933  df-cms 23132

This theorem is referenced by:  minveclem3  23200  minveclem4a  23201