Theorem minvec 23207

Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace W that minimizes the distance to an arbitrary vector A in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )

Assertion

Ref	Expression
minvec	|- ( ph -> E! x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, A, y   x, N, y   ph, x, y   x, U, y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem minvec

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.x	. 2 |- X = ( Base ` U )
2		minvec.m	. 2 |- .- = ( -g ` U )
3		minvec.n	. 2 |- N = ( norm ` U )
4		minvec.u	. 2 |- ( ph -> U e. CPreHil )
5		minvec.y	. 2 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
6		minvec.w	. 2 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
7		minvec.a	. 2 |- ( ph -> A e. X )
8		eqid 2622	. 2 |- ( TopOpen ` U ) = ( TopOpen ` U )
9		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( j = y -> ( A .- j ) = ( A .- y ) )
10	9	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( j = y -> ( N ` ( A .- j ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
11	10	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( j e. Y |-> ( N ` ( A .- j ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
12	11	rneqi 5352	. 2 |- ran ( j e. Y |-> ( N ` ( A .- j ) ) ) = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
13		eqid 2622	. 2 |- inf ( ran ( j e. Y |-> ( N ` ( A .- j ) ) ) , RR , < ) = inf ( ran ( j e. Y |-> ( N ` ( A .- j ) ) ) , RR , < )
14		eqid 2622	. 2 |- ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14	minveclem7 23206	1 |- ( ph -> E! x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   -gcsg 17424   LSubSpclss 18932   normcnm 22381   CPreHilccph 22966  CMetSpccms 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-haus 21119  df-fil 21650  df-flim 21743  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968  df-cfil 23053  df-cmet 23055  df-cms 23132

This theorem is referenced by:  pjthlem2  23209