Theorem mon1psubm 37784

Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1psubm.p	|- P = (Poly1 ` R )
mon1psubm.m	|- M = (Monic1p ` R )
mon1psubm.u	|- U = (mulGrp ` P )

Assertion

Ref	Expression
mon1psubm	|- ( R e. NzRing -> M e. (SubMnd ` U ) )

Proof of Theorem mon1psubm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon1psubm.p	. . . . 5 |- P = (Poly1 ` R )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
3		mon1psubm.m	. . . . 5 |- M = (Monic1p ` R )
4	1, 2, 3	mon1pcl 23904	. . . 4 |- ( x e. M -> x e. ( Base ` P ) )
5	4	ssriv 3607	. . 3 |- M C_ ( Base ` P )
6	5	a1i 11	. 2 |- ( R e. NzRing -> M C_ ( Base ` P ) )
7		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1r ` P ) = ( 1r ` P )
8		eqid 2622	. . . 4 |- ( deg1 ` R ) = ( deg1 ` R )
9	1, 7, 3, 8	mon1pid 37783	. . 3 |- ( R e. NzRing -> ( ( 1r ` P ) e. M /\ ( ( deg1 ` R ) ` ( 1r ` P ) ) = 0 ) )
10	9	simpld 475	. 2 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` P ) e. M )
11	1	ply1nz 23881	. . . . . . 7 |- ( R e. NzRing -> P e. NzRing )
12		nzrring 19261	. . . . . . 7 |- ( P e. NzRing -> P e. Ring )
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( R e. NzRing -> P e. Ring )
14	13	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> P e. Ring )
15	4	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> x e. ( Base ` P ) )
16		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> y e. M )
17	5, 16	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> y e. ( Base ` P ) )
18		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
19	2, 18	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( P e. Ring /\ x e. ( Base ` P ) /\ y e. ( Base ` P ) ) -> ( x ( .r ` P ) y ) e. ( Base ` P ) )
20	14, 15, 17, 19	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( x ( .r ` P ) y ) e. ( Base ` P ) )
21		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (RLReg ` R ) = (RLReg ` R )
22		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
23		nzrring 19261	. . . . . . . 8 |- ( R e. NzRing -> R e. Ring )
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> R e. Ring )
25	1, 22, 3	mon1pn0 23906	. . . . . . . 8 |- ( x e. M -> x =/= ( 0g ` P ) )
26	25	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> x =/= ( 0g ` P ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
28	8, 27, 3	mon1pldg 23909	. . . . . . . . 9 |- ( x e. M -> ( (coe1 ` x ) ` ( ( deg1 ` R ) ` x ) ) = ( 1r ` R ) )
29	28	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( (coe1 ` x ) ` ( ( deg1 ` R ) ` x ) ) = ( 1r ` R ) )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
31	21, 30	unitrrg 19293	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> (Unit ` R ) C_ (RLReg ` R ) )
32	23, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. NzRing -> (Unit ` R ) C_ (RLReg ` R ) )
33	30, 27	1unit 18658	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. (Unit ` R ) )
34	23, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) e. (Unit ` R ) )
35	32, 34	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) e. (RLReg ` R ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( 1r ` R ) e. (RLReg ` R ) )
37	29, 36	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( (coe1 ` x ) ` ( ( deg1 ` R ) ` x ) ) e. (RLReg ` R ) )
38	1, 22, 3	mon1pn0 23906	. . . . . . . 8 |- ( y e. M -> y =/= ( 0g ` P ) )
39	38	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> y =/= ( 0g ` P ) )
40	8, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39	deg1mul2 23874	. . . . . 6 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( ( ( deg1 ` R ) ` x ) + ( ( deg1 ` R ) ` y ) ) )
41	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 23848	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` P ) /\ x =/= ( 0g ` P ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` x ) e. NN0 )
42	24, 15, 26, 41	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` x ) e. NN0 )
43	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 23848	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` P ) /\ y =/= ( 0g ` P ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` y ) e. NN0 )
44	24, 17, 39, 43	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` y ) e. NN0 )
45	42, 44	nn0addcld 11355	. . . . . 6 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` x ) + ( ( deg1 ` R ) ` y ) ) e. NN0 )
46	40, 45	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( x ( .r ` P ) y ) ) e. NN0 )
47	8, 1, 22, 2	deg1nn0clb 23850	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( x ( .r ` P ) y ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( x ( .r ` P ) y ) =/= ( 0g ` P ) <-> ( ( deg1 ` R ) ` ( x ( .r ` P ) y ) ) e. NN0 ) )
48	24, 20, 47	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( ( x ( .r ` P ) y ) =/= ( 0g ` P ) <-> ( ( deg1 ` R ) ` ( x ( .r ` P ) y ) ) e. NN0 ) )
49	46, 48	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( x ( .r ` P ) y ) =/= ( 0g ` P ) )
50	40	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( (coe1 ` ( x ( .r ` P ) y ) ) ` ( ( deg1 ` R ) ` ( x ( .r ` P ) y ) ) ) = ( (coe1 ` ( x ( .r ` P ) y ) ) ` ( ( ( deg1 ` R ) ` x ) + ( ( deg1 ` R ) ` y ) ) ) )
51		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
52	1, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39	coe1mul4 23860	. . . . . 6 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( (coe1 ` ( x ( .r ` P ) y ) ) ` ( ( ( deg1 ` R ) ` x ) + ( ( deg1 ` R ) ` y ) ) ) = ( ( (coe1 ` x ) ` ( ( deg1 ` R ) ` x ) ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` y ) ` ( ( deg1 ` R ) ` y ) ) ) )
53	8, 27, 3	mon1pldg 23909	. . . . . . . . 9 |- ( y e. M -> ( (coe1 ` y ) ` ( ( deg1 ` R ) ` y ) ) = ( 1r ` R ) )
54	53	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( (coe1 ` y ) ` ( ( deg1 ` R ) ` y ) ) = ( 1r ` R ) )
55	29, 54	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( ( (coe1 ` x ) ` ( ( deg1 ` R ) ` x ) ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` y ) ` ( ( deg1 ` R ) ` y ) ) ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
57	56, 27	ringidcl 18568	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
58	23, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
59	56, 51, 27	ringlidm 18571	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
60	23, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( R e. NzRing -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
62	55, 61	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( ( (coe1 ` x ) ` ( ( deg1 ` R ) ` x ) ) ( .r ` R ) ( (coe1 ` y ) ` ( ( deg1 ` R ) ` y ) ) ) = ( 1r ` R ) )
63	52, 62	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( (coe1 ` ( x ( .r ` P ) y ) ) ` ( ( ( deg1 ` R ) ` x ) + ( ( deg1 ` R ) ` y ) ) ) = ( 1r ` R ) )
64	50, 63	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( (coe1 ` ( x ( .r ` P ) y ) ) ` ( ( deg1 ` R ) ` ( x ( .r ` P ) y ) ) ) = ( 1r ` R ) )
65	1, 2, 22, 8, 3, 27	ismon1p 23902	. . . 4 |- ( ( x ( .r ` P ) y ) e. M <-> ( ( x ( .r ` P ) y ) e. ( Base ` P ) /\ ( x ( .r ` P ) y ) =/= ( 0g ` P ) /\ ( (coe1 ` ( x ( .r ` P ) y ) ) ` ( ( deg1 ` R ) ` ( x ( .r ` P ) y ) ) ) = ( 1r ` R ) ) )
66	20, 49, 64, 65	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( x ( .r ` P ) y ) e. M )
67	66	ralrimivva 2971	. 2 |- ( R e. NzRing -> A. x e. M A. y e. M ( x ( .r ` P ) y ) e. M )
68		mon1psubm.u	. . . . 5 |- U = (mulGrp ` P )
69	68	ringmgp 18553	. . . 4 |- ( P e. Ring -> U e. Mnd )
70	13, 69	syl 17	. . 3 |- ( R e. NzRing -> U e. Mnd )
71	68, 2	mgpbas 18495	. . . 4 |- ( Base ` P ) = ( Base ` U )
72	68, 7	ringidval 18503	. . . 4 |- ( 1r ` P ) = ( 0g ` U )
73	68, 18	mgpplusg 18493	. . . 4 |- ( .r ` P ) = ( +g ` U )
74	71, 72, 73	issubm 17347	. . 3 |- ( U e. Mnd -> ( M e. (SubMnd ` U ) <-> ( M C_ ( Base ` P ) /\ ( 1r ` P ) e. M /\ A. x e. M A. y e. M ( x ( .r ` P ) y ) e. M ) ) )
75	70, 74	syl 17	. 2 |- ( R e. NzRing -> ( M e. (SubMnd ` U ) <-> ( M C_ ( Base ` P ) /\ ( 1r ` P ) e. M /\ A. x e. M A. y e. M ( x ( .r ` P ) y ) e. M ) ) )
76	6, 10, 67, 75	mpbir3and 1245	1 |- ( R e. NzRing -> M e. (SubMnd ` U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547  Unitcui 18639  NzRingcnzr 19257  RLRegcrlreg 19279  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814  Monic_1pcmn1 23885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-mon1 23890

This theorem is referenced by: (None)