Theorem ne0gt0d 10174

Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ne0gt0d.2	|- ( ph -> 0 <_ A )
ne0gt0d.3	|- ( ph -> A =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
ne0gt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem ne0gt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0gt0d.3	. 2 |- ( ph -> A =/= 0 )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ne0gt0d.2	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4		ne0gt0 10142	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A =/= 0 <-> 0 < A ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( A =/= 0 <-> 0 < A ) )
6	1, 5	mpbid 222	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  sqrtgt0  13999  absrpcl  14028  sqreulem  14099  efgt0  14833  abvgt0  18828  nmrpcl  22424  lebnumlem1  22760  ipcau2  23033  recxpcl  24421  mulcxp  24431  rlimcnp  24692  lgsdilem  25049  pntleml  25300  ttgcontlem1  25765  axsegconlem6  25802  axpaschlem  25820  axcontlem2  25845  axcontlem4  25847  axcontlem7  25850  xrge0iifhom  29983  cndprobprob  30500  tan2h  33401  dvasin  33496  radcnvrat  38513  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  fourierdlem30  40354  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem54  40377  fourierdlem102  40425  fourierdlem114  40437  sqwvfoura  40445