Theorem fourierdlem114 40437

Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem114.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem114.t	|- T = ( 2 x. pi )
fourierdlem114.per	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem114.g	|- G = ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem114.dmdv	|- ( ph -> ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin )
fourierdlem114.gcn	|- ( ph -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
fourierdlem114.rlim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem114.llim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem114.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem114.l	|- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
fourierdlem114.r	|- ( ph -> R e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
fourierdlem114.a	|- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem114.b	|- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem114.s	|- S = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) )
fourierdlem114.p	|- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem114.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem114.h	|- H = ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
fourierdlem114.m	|- M = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem114.q	|- Q = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem114	|- ( ph -> ( seq 1 ( + , S ) ~~> ( ( ( L + R ) / 2 ) - ( ( A ` 0 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. NN ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) = ( ( L + R ) / 2 ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   x, E   i, F, n, x   i, G, x   g, H   i, L, n   g, M   i, M, n, p   x, M   Q, g   Q, i, n, p   x, Q   R, i, n   T, i, n, p   x, T   i, X, n, p   x, X   ph, g   ph, i, n, x

Allowed substitution hints:   ph( p)   A( x, g, i, p)   B( x, g, i, p)   P( x, g, i, n, p)   R( x, g, p)   S( x, g, i, n, p)   T( g)   E( g, i, n, p)   F( g, p)   G( g, n, p)   H( x, i, n, p)   L( x, g, p)   X( g)

Proof of Theorem fourierdlem114

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem114.f	. 2 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2		fourierdlem114.t	. 2 |- T = ( 2 x. pi )
3		fourierdlem114.per	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
4		fourierdlem114.x	. 2 |- ( ph -> X e. RR )
5		fourierdlem114.l	. 2 |- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
6		fourierdlem114.r	. 2 |- ( ph -> R e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
7		fourierdlem114.p	. 2 |- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
8		fourierdlem114.m	. . 3 |- M = ( ( # ` H ) - 1 )
9		2z 11409	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
11		fourierdlem114.h	. . . . . . . 8 |- H = ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
12		tpfi 8236	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin )
14		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR
15	14	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u pi e. RR
16	15	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. RR*
17	14	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR*
18		negpilt0 39492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi < 0
19		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
20		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
21	15, 20, 14	lttri 10163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi < 0 /\ 0 < pi ) -> -u pi < pi )
22	18, 19, 21	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u pi < pi
23	15, 14, 22	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi <_ pi
24		prunioo 12301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) = ( -u pi [,] pi ) )
25	16, 17, 23, 24	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) = ( -u pi [,] pi )
26	25	difeq1i 3724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) \ dom G ) = ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G )
27		difundir 3880	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) \ dom G ) = ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) )
28	26, 27	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) = ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) )
29		fourierdlem114.dmdv	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin )
30		prfi 8235	. . . . . . . . . . . 12 |- { -u pi , pi } e. Fin
31		diffi 8192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { -u pi , pi } e. Fin -> ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin )
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin )
33		unfi 8227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin /\ ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin ) -> ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) ) e. Fin )
34	29, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) ) e. Fin )
35	28, 34	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. Fin )
36		unfi 8227	. . . . . . . . 9 |- ( ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin /\ ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. Fin ) -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. Fin )
37	13, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. Fin )
38	11, 37	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. Fin )
39		hashcl 13147	. . . . . . 7 |- ( H e. Fin -> ( # ` H ) e. NN0 )
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` H ) e. NN0 )
41	40	nn0zd 11480	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` H ) e. ZZ )
42	15, 22	ltneii 10150	. . . . . . 7 |- -u pi =/= pi
43		hashprg 13182	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi =/= pi <-> ( # ` { -u pi , pi } ) = 2 ) )
44	15, 14, 43	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( -u pi =/= pi <-> ( # ` { -u pi , pi } ) = 2 )
45	42, 44	mpbi 220	. . . . . 6 |- ( # ` { -u pi , pi } ) = 2
46	12	elexi 3213	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. _V
47		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi [,] pi ) e. _V
48		difexg 4808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi [,] pi ) e. _V -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. _V )
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. _V
50	46, 49	unex 6956	. . . . . . . . 9 |- ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. _V
51	11, 50	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- H e. _V
52		negex 10279	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. _V
53	52	tpid1 4303	. . . . . . . . . 10 |- -u pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
54	14	elexi 3213	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. _V
55	54	tpid2 4304	. . . . . . . . . 10 |- pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
56		prssi 4353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } /\ pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } ) -> { -u pi , pi } C_ { -u pi , pi , ( E ` X ) } )
57	53, 55, 56	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- { -u pi , pi } C_ { -u pi , pi , ( E ` X ) }
58		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
59	58, 11	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . 9 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ H
60	57, 59	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- { -u pi , pi } C_ H
61		hashss 13197	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. _V /\ { -u pi , pi } C_ H ) -> ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H ) )
62	51, 60, 61	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H )
63	62	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H ) )
64	45, 63	syl5eqbrr 4689	. . . . 5 |- ( ph -> 2 <_ ( # ` H ) )
65		eluz2 11693	. . . . 5 |- ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( # ` H ) e. ZZ /\ 2 <_ ( # ` H ) ) )
66	10, 41, 64, 65	syl3anbrc 1246	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
67		uz2m1nn 11763	. . . 4 |- ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
68	66, 67	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
69	8, 68	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
70	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi e. RR )
71	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> pi e. RR )
72		negpitopissre 24286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u pi (,] pi ) C_ RR
73	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u pi < pi )
74		picn 24211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. CC
75	74	2timesi 11147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
76	74, 74	subnegi 10360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi - -u pi ) = ( pi + pi )
77	75, 2, 76	3eqtr4i 2654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = ( pi - -u pi )
78		fourierdlem114.e	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) ) )
79	70, 71, 73, 77, 78	fourierdlem4 40328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E : RR --> ( -u pi (,] pi ) )
80	79, 4	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( -u pi (,] pi ) )
81	72, 80	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` X ) e. RR )
82	70, 71, 81	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( E ` X ) e. RR ) )
83		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( E ` X ) e. _V
84	52, 54, 83	tpss 4368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( E ` X ) e. RR ) <-> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ RR )
85	82, 84	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ RR )
86		iccssre 12255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
87	15, 14, 86	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( -u pi [,] pi ) C_ RR
88		ssdifss 3741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) C_ RR -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ RR )
89	87, 88	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ RR )
90	85, 89	unssd 3789	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) C_ RR )
91	11, 90	syl5eqss 3649	. . . . . . 7 |- ( ph -> H C_ RR )
92		fourierdlem114.q	. . . . . . 7 |- Q = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
93	38, 91, 92, 8	fourierdlem36 40360	. . . . . 6 |- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
94		isof1o 6573	. . . . . 6 |- ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) -> Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H )
95		f1of 6137	. . . . . 6 |- ( Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
96	93, 94, 95	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
97	96, 91	fssd 6057	. . . 4 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
98		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
99		ovex 6678	. . . . 5 |- ( 0 ... M ) e. _V
100	98, 99	elmap 7886	. . . 4 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
101	97, 100	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
102		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = i -> ( Q ` 0 ) = ( Q ` i ) )
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) = ( Q ` i ) )
104	97	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
105	104	leidd 10594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
107	103, 106	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
108		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. ZZ )
109	108	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. RR )
110	109	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> i e. RR )
111		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ i )
112	111	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> 0 <_ i )
113		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 0 = i -> 0 =/= i )
114	113	necomd 2849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. 0 = i -> i =/= 0 )
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> i =/= 0 )
116	110, 112, 115	ne0gt0d 10174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> 0 < i )
117		nnssnn0 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN C_ NN0
118		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
119	117, 118	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN C_ ( ZZ>= ` 0 )
120	119, 69	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
121		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
123	96, 122	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. H )
124	91, 123	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
125	124	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
126	104	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` i ) e. RR )
127		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> 0 < i )
128	93	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
129	122	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) )
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) )
131		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 < i <-> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) ) )
132	128, 130, 131	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( 0 < i <-> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) ) )
133	127, 132	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) )
134	125, 126, 133	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
135	116, 134	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
136	107, 135	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
137	136	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
138		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` i ) = -u pi )
139	137, 138	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) <_ -u pi )
140	70	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
141	71	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi e. RR* )
142		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> -u pi e. ( -u pi [,] pi ) )
143	16, 17, 23, 142	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. ( -u pi [,] pi )
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. ( -u pi [,] pi ) )
145		ubicc2 12289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> pi e. ( -u pi [,] pi ) )
146	16, 17, 23, 145	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. ( -u pi [,] pi )
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. ( -u pi [,] pi ) )
148		iocssicc 12261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u pi (,] pi ) C_ ( -u pi [,] pi )
149	148, 80	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( -u pi [,] pi ) )
150		tpssi 4369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi e. ( -u pi [,] pi ) /\ pi e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( E ` X ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( -u pi [,] pi ) )
151	144, 147, 149, 150	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( -u pi [,] pi ) )
152		difssd 3738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
153	151, 152	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
154	11, 153	syl5eqss 3649	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H C_ ( -u pi [,] pi ) )
155	154, 123	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. ( -u pi [,] pi ) )
156		iccgelb 12230	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ ( Q ` 0 ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
157	140, 141, 155, 156	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
158	157	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
159	124	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
160	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> -u pi e. RR )
161	159, 160	letri3d 10179	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( ( Q ` 0 ) = -u pi <-> ( ( Q ` 0 ) <_ -u pi /\ -u pi <_ ( Q ` 0 ) ) ) )
162	139, 158, 161	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
163	59, 53	sselii 3600	. . . . . . 7 |- -u pi e. H
164		f1ofo 6144	. . . . . . . . 9 |- ( Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H -> Q : ( 0 ... M ) -onto-> H )
165	94, 164	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) -> Q : ( 0 ... M ) -onto-> H )
166		forn 6118	. . . . . . . 8 |- ( Q : ( 0 ... M ) -onto-> H -> ran Q = H )
167	93, 165, 166	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran Q = H )
168	163, 167	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- ( ph -> -u pi e. ran Q )
169		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> H -> Q Fn ( 0 ... M ) )
170		fvelrnb 6243	. . . . . . 7 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( -u pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi ) )
171	96, 169, 170	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi ) )
172	168, 171	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi )
173	162, 172	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
174	59, 55	sselii 3600	. . . . . . 7 |- pi e. H
175	174, 167	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- ( ph -> pi e. ran Q )
176		fvelrnb 6243	. . . . . . 7 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi ) )
177	96, 169, 176	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> ( pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi ) )
178	175, 177	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi )
179	96, 154	fssd 6057	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
180		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
181	120, 180	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
182	179, 181	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. ( -u pi [,] pi ) )
183		iccleub 12229	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ ( Q ` M ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( Q ` M ) <_ pi )
184	140, 141, 182, 183	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` M ) <_ pi )
185	184	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) <_ pi )
186		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` i ) = pi -> ( Q ` i ) = pi )
187	186	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` i ) = pi -> pi = ( Q ` i ) )
188	187	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi = ( Q ` i ) )
189	105	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
190		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( Q ` i ) = ( Q ` M ) )
191	190	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) = ( Q ` M ) )
192	189, 191	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
193	109	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i e. RR )
194		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. ZZ )
195	194	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. RR )
196	195	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> M e. RR )
197		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i <_ M )
198	197	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i <_ M )
199		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. i = M -> i =/= M )
200	199	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. i = M -> M =/= i )
201	200	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> M =/= i )
202	193, 196, 198, 201	leneltd 10191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i < M )
203	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) e. RR )
204	87, 182	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
205	204	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` M ) e. RR )
206		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> i < M )
207	93	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
208		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
209	181	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> M e. ( 0 ... M ) )
210	208, 209	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) )
211	210	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) )
212		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( i < M <-> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) ) )
213	207, 211, 212	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( i < M <-> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) ) )
214	206, 213	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) )
215	203, 205, 214	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
216	202, 215	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
217	192, 216	pm2.61dan 832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
218	217	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
219	188, 218	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi <_ ( Q ` M ) )
220	204	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) e. RR )
221	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi e. RR )
222	220, 221	letri3d 10179	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( ( Q ` M ) = pi <-> ( ( Q ` M ) <_ pi /\ pi <_ ( Q ` M ) ) ) )
223	185, 219, 222	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) = pi )
224	223	rexlimdv3a 3033	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi -> ( Q ` M ) = pi ) )
225	178, 224	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` M ) = pi )
226		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ZZ )
227	226	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. RR )
228	227	ltp1d 10954	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i < ( i + 1 ) )
229	228	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i < ( i + 1 ) )
230		elfzofz 12485	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
231		fzofzp1 12565	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
232	230, 231	jca 554	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
233		isorel 6576	. . . . . . 7 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
234	93, 232, 233	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
235	229, 234	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
236	235	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
237	173, 225, 236	jca31 557	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
238	7	fourierdlem2 40326	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
239	69, 238	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
240	101, 237, 239	mpbir2and 957	. 2 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
241		fourierdlem114.g	. . . . 5 |- G = ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) )
242	241	reseq1i 5392	. . . 4 |- ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
243	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -u pi e. RR* )
244	17	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> pi e. RR* )
245	179	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
246		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
247	243, 244, 245, 246	fourierdlem27 40351	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
248	247	resabs1d 5428	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
249	242, 248	syl5req 2669	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
250		fourierdlem114.gcn	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
251	250, 7, 69, 240, 11, 167	fourierdlem38 40362	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
252	249, 251	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
253	249	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
254	250	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
255		fourierdlem114.rlim	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
256	255	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
257		fourierdlem114.llim	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
258	257	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
259	93	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
260	259, 94, 95	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
261	81	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E ` X ) e. RR )
262	259, 165, 166	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ran Q = H )
263	254, 256, 258, 259, 260, 246, 235, 247, 261, 11, 262	fourierdlem46 40369	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) /\ ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
264	263	simpld 475	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
265	253, 264	eqnetrd 2861	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
266	249	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
267	263	simprd 479	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
268	266, 267	eqnetrd 2861	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
269		fourierdlem114.a	. 2 |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
270		fourierdlem114.b	. 2 |- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
271		fourierdlem114.s	. 2 |- S = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) )
272	83	tpid3 4307	. . . . 5 |- ( E ` X ) e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
273		elun1 3780	. . . . 5 |- ( ( E ` X ) e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } -> ( E ` X ) e. ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) )
274	272, 273	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) )
275	274, 11	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( ph -> ( E ` X ) e. H )
276	275, 167	eleqtrrd 2704	. 2 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ran Q )
277	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 69, 240, 252, 265, 268, 269, 270, 271, 78, 276	fourierdlem113 40436	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , S ) ~~> ( ( ( L + R ) / 2 ) - ( ( A ` 0 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. NN ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) = ( ( L + R ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   {ctp 4181   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   iotacio 5849   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   seqcseq 12801   #chash 13117   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   -cn->ccncf 22679   S.citg 23387   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ditg 23611  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem115  40438