Theorem lebnumlem1 22760

Description: Lemma for lebnum 22763. The function F measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
lebnum.d	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
lebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
lebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
lebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )
lebnumlem1.u	|- ( ph -> U e. Fin )
lebnumlem1.n	|- ( ph -> -. X e. U )
lebnumlem1.f	|- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )

Assertion

Ref	Expression
lebnumlem1	|- ( ph -> F : X --> RR+ )

Distinct variable groups:   y, k, z, D   k, J, y, z   U, k, y, z   ph, k, y, z   k, X, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem1

Dummy variables m w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lebnumlem1.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> U e. Fin )
3		lebnum.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
4	3	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> D e. ( Met ` X ) )
5		difssd 3738	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) C_ X )
6		lebnum.s	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U C_ J )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> U C_ J )
8	7	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k e. J )
9		elssuni 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. J -> k C_ U. J )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k C_ U. J )
11		metxmet 22139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
12	3, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
13		lebnum.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( MetOpen ` D )
14	13	mopnuni 22246	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X = U. J )
16	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> X = U. J )
17	10, 16	sseqtr4d 3642	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k C_ X )
18		lebnumlem1.n	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. X e. U )
19		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = X -> ( k e. U <-> X e. U ) )
20	19	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = X -> ( -. k e. U <-> -. X e. U ) )
21	18, 20	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k = X -> -. k e. U ) )
22	21	necon2ad 2809	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. U -> k =/= X ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( k e. U -> k =/= X ) )
24	23	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k =/= X )
25		pssdifn0 3944	. . . . . . . 8 |- ( ( k C_ X /\ k =/= X ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
26	17, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
27		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) = ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
28	27	metdsre 22656	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X /\ ( X \ k ) =/= (/) ) -> ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> RR )
29	4, 5, 26, 28	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> RR )
30	27	fmpt 6381	. . . . . 6 |- ( A. y e. X inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR <-> ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> RR )
31	29, 30	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> A. y e. X inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR )
32		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> y e. X )
33		rsp 2929	. . . . 5 |- ( A. y e. X inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR -> ( y e. X -> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
34	31, 32, 33	sylc 65	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR )
35	2, 34	fsumrecl 14465	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR )
36		lebnum.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> X = U. U )
37	36	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. X <-> y e. U. U ) )
38	37	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> y e. U. U )
39		eluni2 4440	. . . . 5 |- ( y e. U. U <-> E. m e. U y e. m )
40	38, 39	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> E. m e. U y e. m )
41		0red 10041	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 e. RR )
42		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> y e. X )
43		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) = ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) )
44	43	metdsval 22650	. . . . . . 7 |- ( y e. X -> ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) = inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
45	42, 44	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) = inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
46	3	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
47		difssd 3738	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) C_ X )
48	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> U C_ J )
49		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m e. U )
50	48, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m e. J )
51		elssuni 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. J -> m C_ U. J )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m C_ U. J )
53	46, 11, 14	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> X = U. J )
54	52, 53	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m C_ X )
55		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = X -> ( m e. U <-> X e. U ) )
56	55	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = X -> ( -. m e. U <-> -. X e. U ) )
57	18, 56	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( m = X -> -. m e. U ) )
58	57	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. U -> m =/= X ) )
59	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( m e. U -> m =/= X ) )
60	49, 59	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m =/= X )
61		pssdifn0 3944	. . . . . . . . 9 |- ( ( m C_ X /\ m =/= X ) -> ( X \ m ) =/= (/) )
62	54, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) =/= (/) )
63	43	metdsre 22656	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X \ m ) C_ X /\ ( X \ m ) =/= (/) ) -> ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> RR )
64	46, 47, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> RR )
65	64, 42	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) e. RR )
66	45, 65	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR )
67	35	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR )
68	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
69	43	metdsf 22651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ m ) C_ X ) -> ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
70	68, 47, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
71	70, 42	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
72		elxrge0 12281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) ) )
73	71, 72	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) ) )
74	73	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 <_ ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) )
75		elndif 3734	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. m -> -. y e. ( X \ m ) )
76	75	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> -. y e. ( X \ m ) )
77	53	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) = ( U. J \ m ) )
78	13	mopntop 22245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
79	68, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> J e. Top )
80		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. J = U. J
81	80	opncld 20837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ m e. J ) -> ( U. J \ m ) e. ( Clsd ` J ) )
82	79, 50, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( U. J \ m ) e. ( Clsd ` J ) )
83	77, 82	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) e. ( Clsd ` J ) )
84		cldcls 20846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X \ m ) e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) = ( X \ m ) )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) = ( X \ m ) )
86	76, 85	neleqtrrd 2723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> -. y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) )
87	43, 13	metdseq0 22657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ m ) C_ X /\ y e. X ) -> ( ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) = 0 <-> y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) ) )
88	68, 47, 42, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) = 0 <-> y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) ) )
89	88	necon3abid 2830	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) =/= 0 <-> -. y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) ) )
90	86, 89	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) =/= 0 )
91	65, 74, 90	ne0gt0d 10174	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 < ( ( w e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , < ) ) ` y ) )
92	91, 45	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 < inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
93	1	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> U e. Fin )
94	34	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) /\ k e. U ) -> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR )
95	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> D e. ( *Met ` X ) )
96	27	metdsf 22651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X ) -> ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
97	95, 5, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
98	27	fmpt 6381	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. X inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
99	97, 98	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> A. y e. X inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
100		rsp 2929	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. X inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( y e. X -> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
101	99, 32, 100	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
102		elxrge0 12281	. . . . . . . . 9 |- (inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> (inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR* /\ 0 <_ inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) )
103	101, 102	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> (inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR* /\ 0 <_ inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) )
104	103	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> 0 <_ inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
105	104	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) /\ k e. U ) -> 0 <_ inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
106		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( X \ k ) = ( X \ m ) )
107	106	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) )
108	107	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) )
109	108	infeq1d 8383	. . . . . 6 |- ( k = m -> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) = inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
110	93, 94, 105, 109, 49	fsumge1 14529	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> inf ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) <_ sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
111	41, 66, 67, 92, 110	ltletrd 10197	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 < sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
112	40, 111	rexlimddv 3035	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> 0 < sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
113	35, 112	elrpd 11869	. 2 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) e. RR+ )
114		lebnumlem1.f	. 2 |- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
115	113, 114	fmptd 6385	1 |- ( ph -> F : X --> RR+ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   RR+crp 11832   [,]cicc 12178   sum_csu 14416   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825

This theorem is referenced by:  lebnumlem2  22761  lebnumlem3  22762