Theorem tan2h 33401

Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tan2h	|- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( tan ` ( A / 2 ) ) = ( sqr ` ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / ( 1 + ( cos ` A ) ) ) ) )

Proof of Theorem tan2h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
2		pire 24210	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
3	2	rexri 10097	. . . . . . . 8 |- pi e. RR*
4		icossre 12254	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR* ) -> ( 0 [,) pi ) C_ RR )
5	1, 3, 4	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) pi ) C_ RR
6	5	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> A e. RR )
7	6	recnd 10068	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> A e. CC )
8	7	halfcld 11277	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( A / 2 ) e. CC )
9	6	rehalfcld 11279	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( A / 2 ) e. RR )
10	9	rered 13964	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( Re ` ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )
11		elico2 12237	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,) pi ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < pi ) ) )
12	1, 3, 11	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < pi ) )
13		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < pi
14		lt0neg2 10535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi e. RR -> ( 0 < pi <-> -u pi < 0 ) )
15	2, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 < pi <-> -u pi < 0 )
16	13, 15	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi < 0
17	2	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. RR
18		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( -u pi < 0 /\ 0 <_ A ) -> -u pi < A ) )
19	17, 1, 18	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( ( -u pi < 0 /\ 0 <_ A ) -> -u pi < A ) )
20	16, 19	mpani 712	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> -u pi < A ) )
21		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
22		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
24		ltdiv1 10887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR /\ A e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( -u pi < A <-> ( -u pi / 2 ) < ( A / 2 ) ) )
25	17, 23, 24	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( -u pi < A <-> ( -u pi / 2 ) < ( A / 2 ) ) )
26		picn 24211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. CC
27		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
28		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
29		divneg 10719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( pi e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( pi / 2 ) = ( -u pi / 2 ) )
30	26, 27, 28, 29	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u ( pi / 2 ) = ( -u pi / 2 )
31	30	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u ( pi / 2 ) < ( A / 2 ) <-> ( -u pi / 2 ) < ( A / 2 ) )
32	25, 31	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( -u pi < A <-> -u ( pi / 2 ) < ( A / 2 ) ) )
33	20, 32	sylibd 229	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> -u ( pi / 2 ) < ( A / 2 ) ) )
34		ltdiv1 10887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ pi e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( A < pi <-> ( A / 2 ) < ( pi / 2 ) ) )
35	2, 23, 34	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( A < pi <-> ( A / 2 ) < ( pi / 2 ) ) )
36	35	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A < pi -> ( A / 2 ) < ( pi / 2 ) ) )
37	33, 36	anim12d 586	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( ( 0 <_ A /\ A < pi ) -> ( -u ( pi / 2 ) < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) < ( pi / 2 ) ) ) )
38		rehalfcl 11258	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
39	38	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR* )
40		halfpire 24216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi / 2 ) e. RR
41	40	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
42	41	rexri 10097	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
43	40	rexri 10097	. . . . . . . . . . 11 |- ( pi / 2 ) e. RR*
44		elioo5 12231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( A / 2 ) e. RR* ) -> ( ( A / 2 ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( -u ( pi / 2 ) < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) < ( pi / 2 ) ) ) )
45	42, 43, 44	mp3an12 1414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A / 2 ) e. RR* -> ( ( A / 2 ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( -u ( pi / 2 ) < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) < ( pi / 2 ) ) ) )
46	39, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( ( A / 2 ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( -u ( pi / 2 ) < ( A / 2 ) /\ ( A / 2 ) < ( pi / 2 ) ) ) )
47	37, 46	sylibrd 249	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( 0 <_ A /\ A < pi ) -> ( A / 2 ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) )
48	47	3impib 1262	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < pi ) -> ( A / 2 ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
49	12, 48	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( A / 2 ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
50	10, 49	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( Re ` ( A / 2 ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
51		cosne0 24276	. . . . 5 |- ( ( ( A / 2 ) e. CC /\ ( Re ` ( A / 2 ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) =/= 0 )
52	8, 50, 51	syl2anc 693	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) =/= 0 )
53		tanval 14858	. . . 4 |- ( ( ( A / 2 ) e. CC /\ ( cos ` ( A / 2 ) ) =/= 0 ) -> ( tan ` ( A / 2 ) ) = ( ( sin ` ( A / 2 ) ) / ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
54	8, 52, 53	syl2anc 693	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( tan ` ( A / 2 ) ) = ( ( sin ` ( A / 2 ) ) / ( cos ` ( A / 2 ) ) ) )
55		0xr 10086	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
56		elico1 12218	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,) pi ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A < pi ) ) )
57	55, 3, 56	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A < pi ) )
58	21, 2	remulcli 10054	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. pi ) e. RR
59	58	rexri 10097	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
60		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < 2
61		ltmulgt12 10884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < pi ) -> ( 1 < 2 <-> pi < ( 2 x. pi ) ) )
62	2, 21, 13, 61	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 < 2 <-> pi < ( 2 x. pi ) )
63	60, 62	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 |- pi < ( 2 x. pi )
64		xrlttr 11973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR* /\ pi e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( ( A < pi /\ pi < ( 2 x. pi ) ) -> A < ( 2 x. pi ) ) )
65	3, 64	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( ( A < pi /\ pi < ( 2 x. pi ) ) -> A < ( 2 x. pi ) ) )
66	63, 65	mpan2i 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A < pi -> A < ( 2 x. pi ) ) )
67		xrltle 11982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A < ( 2 x. pi ) -> A <_ ( 2 x. pi ) ) )
68	66, 67	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A < pi -> A <_ ( 2 x. pi ) ) )
69	59, 68	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> ( A < pi -> A <_ ( 2 x. pi ) ) )
70	69	anim2d 589	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( ( 0 <_ A /\ A < pi ) -> ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. pi ) ) ) )
71		elicc4 12240	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,] ( 2 x. pi ) ) <-> ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. pi ) ) ) )
72	55, 59, 71	mp3an12 1414	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A e. ( 0 [,] ( 2 x. pi ) ) <-> ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. pi ) ) ) )
73	70, 72	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> ( ( 0 <_ A /\ A < pi ) -> A e. ( 0 [,] ( 2 x. pi ) ) ) )
74	73	3impib 1262	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A < pi ) -> A e. ( 0 [,] ( 2 x. pi ) ) )
75	57, 74	sylbi 207	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> A e. ( 0 [,] ( 2 x. pi ) ) )
76		sin2h 33399	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,] ( 2 x. pi ) ) -> ( sin ` ( A / 2 ) ) = ( sqr ` ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) ) )
77	75, 76	syl 17	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( sin ` ( A / 2 ) ) = ( sqr ` ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) ) )
78	1, 2, 13	ltleii 10160	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ pi
79		le0neg2 10537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi e. RR -> ( 0 <_ pi <-> -u pi <_ 0 ) )
80	2, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 <_ pi <-> -u pi <_ 0 )
81	78, 80	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- -u pi <_ 0
82	17	rexri 10097	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR*
83		xrletr 11989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( -u pi <_ 0 /\ 0 <_ A ) -> -u pi <_ A ) )
84	82, 55, 83	mp3an12 1414	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR* -> ( ( -u pi <_ 0 /\ 0 <_ A ) -> -u pi <_ A ) )
85	81, 84	mpani 712	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> ( 0 <_ A -> -u pi <_ A ) )
86		xrltle 11982	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( A < pi -> A <_ pi ) )
87	3, 86	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> ( A < pi -> A <_ pi ) )
88	85, 87	anim12d 586	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( ( 0 <_ A /\ A < pi ) -> ( -u pi <_ A /\ A <_ pi ) ) )
89		elicc4 12240	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( -u pi <_ A /\ A <_ pi ) ) )
90	82, 3, 89	mp3an12 1414	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( -u pi <_ A /\ A <_ pi ) ) )
91	88, 90	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> ( ( 0 <_ A /\ A < pi ) -> A e. ( -u pi [,] pi ) ) )
92	91	3impib 1262	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A < pi ) -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
93	57, 92	sylbi 207	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
94		cos2h 33400	. . . . 5 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) = ( sqr ` ( ( 1 + ( cos ` A ) ) / 2 ) ) )
95	93, 94	syl 17	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( cos ` ( A / 2 ) ) = ( sqr ` ( ( 1 + ( cos ` A ) ) / 2 ) ) )
96	77, 95	oveq12d 6668	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( ( sin ` ( A / 2 ) ) / ( cos ` ( A / 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) ) / ( sqr ` ( ( 1 + ( cos ` A ) ) / 2 ) ) ) )
97	54, 96	eqtrd 2656	. 2 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( tan ` ( A / 2 ) ) = ( ( sqr ` ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) ) / ( sqr ` ( ( 1 + ( cos ` A ) ) / 2 ) ) ) )
98		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
99	6	recoscld 14874	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( cos ` A ) e. RR )
100		resubcl 10345	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ ( cos ` A ) e. RR ) -> ( 1 - ( cos ` A ) ) e. RR )
101	98, 99, 100	sylancr 695	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( 1 - ( cos ` A ) ) e. RR )
102	101	rehalfcld 11279	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) e. RR )
103		cosbnd 14911	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) <_ 1 ) )
104	103	simprd 479	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) <_ 1 )
105		recoscl 14871	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) e. RR )
106		subge0 10541	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( cos ` A ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( cos ` A ) ) <-> ( cos ` A ) <_ 1 ) )
107		halfnneg2 11263	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - ( cos ` A ) ) e. RR -> ( 0 <_ ( 1 - ( cos ` A ) ) <-> 0 <_ ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) ) )
108	100, 107	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( cos ` A ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( cos ` A ) ) <-> 0 <_ ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) ) )
109	106, 108	bitr3d 270	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( cos ` A ) e. RR ) -> ( ( cos ` A ) <_ 1 <-> 0 <_ ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) ) )
110	98, 105, 109	sylancr 695	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( cos ` A ) <_ 1 <-> 0 <_ ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) ) )
111	104, 110	mpbid 222	. . . 4 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) )
112	6, 111	syl 17	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> 0 <_ ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) )
113		readdcl 10019	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( cos ` A ) e. RR ) -> ( 1 + ( cos ` A ) ) e. RR )
114	98, 99, 113	sylancr 695	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( 1 + ( cos ` A ) ) e. RR )
115	103	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> -u 1 <_ ( cos ` A ) )
116	98	renegcli 10342	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. RR
117		subge0 10541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cos ` A ) e. RR /\ -u 1 e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( cos ` A ) - -u 1 ) <-> -u 1 <_ ( cos ` A ) ) )
118	105, 116, 117	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ ( ( cos ` A ) - -u 1 ) <-> -u 1 <_ ( cos ` A ) ) )
119		recn 10026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> A e. CC )
120	119	coscld 14861	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) e. CC )
121		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
122		subneg 10330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( cos ` A ) - -u 1 ) = ( ( cos ` A ) + 1 ) )
123		addcom 10222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + 1 ) = ( 1 + ( cos ` A ) ) )
124	122, 123	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( cos ` A ) - -u 1 ) = ( 1 + ( cos ` A ) ) )
125	120, 121, 124	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( ( cos ` A ) - -u 1 ) = ( 1 + ( cos ` A ) ) )
126	125	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ ( ( cos ` A ) - -u 1 ) <-> 0 <_ ( 1 + ( cos ` A ) ) ) )
127	118, 126	bitr3d 270	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ ( cos ` A ) <-> 0 <_ ( 1 + ( cos ` A ) ) ) )
128	115, 127	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( 1 + ( cos ` A ) ) )
129	6, 128	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> 0 <_ ( 1 + ( cos ` A ) ) )
130		snunioo 12298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 < pi ) -> ( { 0 } u. ( 0 (,) pi ) ) = ( 0 [,) pi ) )
131	55, 3, 13, 130	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- ( { 0 } u. ( 0 (,) pi ) ) = ( 0 [,) pi )
132	131	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( { 0 } u. ( 0 (,) pi ) ) <-> A e. ( 0 [,) pi ) )
133		elun 3753	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( { 0 } u. ( 0 (,) pi ) ) <-> ( A e. { 0 } \/ A e. ( 0 (,) pi ) ) )
134	132, 133	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) <-> ( A e. { 0 } \/ A e. ( 0 (,) pi ) ) )
135		elsni 4194	. . . . . . . . 9 |- ( A e. { 0 } -> A = 0 )
136		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = 0 -> ( cos ` A ) = ( cos ` 0 ) )
137		cos0 14880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( cos ` 0 ) = 1
138	136, 137	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = 0 -> ( cos ` A ) = 1 )
139	138	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = 0 -> ( 1 + ( cos ` A ) ) = ( 1 + 1 ) )
140		df-2 11079	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
141	139, 140	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( A = 0 -> ( 1 + ( cos ` A ) ) = 2 )
142	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( A = 0 -> 2 =/= 0 )
143	141, 142	eqnetrd 2861	. . . . . . . . 9 |- ( A = 0 -> ( 1 + ( cos ` A ) ) =/= 0 )
144	135, 143	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. { 0 } -> ( 1 + ( cos ` A ) ) =/= 0 )
145		sinq12gt0 24259	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` A ) )
146		ltne 10134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < ( sin ` A ) ) -> ( sin ` A ) =/= 0 )
147	1, 146	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 < ( sin ` A ) -> ( sin ` A ) =/= 0 )
148		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A e. RR )
149	148	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A e. CC )
150		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u 1 = ( cos ` A ) -> ( -u 1 ^ 2 ) = ( ( cos ` A ) ^ 2 ) )
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( -u 1 = ( cos ` A ) -> ( -u 1 ^ 2 ) = ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) )
152		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
153	152	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u 1 = ( cos ` A ) <-> ( 0 - 1 ) = ( cos ` A ) )
154		coscl 14857	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
155		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. CC
156		subadd 10284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( cos ` A ) e. CC ) -> ( ( 0 - 1 ) = ( cos ` A ) <-> ( 1 + ( cos ` A ) ) = 0 ) )
157	155, 121, 156	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( cos ` A ) e. CC -> ( ( 0 - 1 ) = ( cos ` A ) <-> ( 1 + ( cos ` A ) ) = 0 ) )
158	154, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( ( 0 - 1 ) = ( cos ` A ) <-> ( 1 + ( cos ` A ) ) = 0 ) )
159	153, 158	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( -u 1 = ( cos ` A ) <-> ( 1 + ( cos ` A ) ) = 0 ) )
160		sincl 14856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
161	160	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. CC )
162		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> 0 e. CC )
163	154	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC )
164	161, 162, 163	addcan2d 10240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( 0 + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) <-> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
165		sincossq 14906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
166		neg1sqe1 12959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
167	165, 166	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( -u 1 ^ 2 ) )
168	163	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( 0 + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` A ) ^ 2 ) )
169	167, 168	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( 0 + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) <-> ( -u 1 ^ 2 ) = ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) )
170		sqeq0 12927	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( sin ` A ) e. CC -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sin ` A ) = 0 ) )
171	160, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sin ` A ) = 0 ) )
172	164, 169, 171	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( ( -u 1 ^ 2 ) = ( ( cos ` A ) ^ 2 ) <-> ( sin ` A ) = 0 ) )
173	151, 159, 172	3imtr3d 282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + ( cos ` A ) ) = 0 -> ( sin ` A ) = 0 ) )
174	149, 173	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( 1 + ( cos ` A ) ) = 0 -> ( sin ` A ) = 0 ) )
175	174	necon3d 2815	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( sin ` A ) =/= 0 -> ( 1 + ( cos ` A ) ) =/= 0 ) )
176	147, 175	syl5 34	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 < ( sin ` A ) -> ( 1 + ( cos ` A ) ) =/= 0 ) )
177	145, 176	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( 1 + ( cos ` A ) ) =/= 0 )
178	144, 177	jaoi 394	. . . . . . 7 |- ( ( A e. { 0 } \/ A e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( 1 + ( cos ` A ) ) =/= 0 )
179	134, 178	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( 1 + ( cos ` A ) ) =/= 0 )
180	114, 129, 179	ne0gt0d 10174	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> 0 < ( 1 + ( cos ` A ) ) )
181	114, 180	elrpd 11869	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( 1 + ( cos ` A ) ) e. RR+ )
182	181	rphalfcld 11884	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( ( 1 + ( cos ` A ) ) / 2 ) e. RR+ )
183	102, 112, 182	sqrtdivd 14162	. 2 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( sqr ` ( ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) / ( ( 1 + ( cos ` A ) ) / 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) ) / ( sqr ` ( ( 1 + ( cos ` A ) ) / 2 ) ) ) )
184	7	coscld 14861	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( cos ` A ) e. CC )
185		subcl 10280	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( cos ` A ) e. CC ) -> ( 1 - ( cos ` A ) ) e. CC )
186	121, 184, 185	sylancr 695	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( 1 - ( cos ` A ) ) e. CC )
187		addcl 10018	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( cos ` A ) e. CC ) -> ( 1 + ( cos ` A ) ) e. CC )
188	121, 184, 187	sylancr 695	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( 1 + ( cos ` A ) ) e. CC )
189		2cnne0 11242	. . . . 5 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
190		divcan7 10734	. . . . 5 |- ( ( ( 1 - ( cos ` A ) ) e. CC /\ ( ( 1 + ( cos ` A ) ) e. CC /\ ( 1 + ( cos ` A ) ) =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) / ( ( 1 + ( cos ` A ) ) / 2 ) ) = ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / ( 1 + ( cos ` A ) ) ) )
191	189, 190	mp3an3 1413	. . . 4 |- ( ( ( 1 - ( cos ` A ) ) e. CC /\ ( ( 1 + ( cos ` A ) ) e. CC /\ ( 1 + ( cos ` A ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) / ( ( 1 + ( cos ` A ) ) / 2 ) ) = ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / ( 1 + ( cos ` A ) ) ) )
192	186, 188, 179, 191	syl12anc 1324	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) / ( ( 1 + ( cos ` A ) ) / 2 ) ) = ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / ( 1 + ( cos ` A ) ) ) )
193	192	fveq2d 6195	. 2 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( sqr ` ( ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / 2 ) / ( ( 1 + ( cos ` A ) ) / 2 ) ) ) = ( sqr ` ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / ( 1 + ( cos ` A ) ) ) ) )
194	97, 183, 193	3eqtr2d 2662	1 |- ( A e. ( 0 [,) pi ) -> ( tan ` ( A / 2 ) ) = ( sqr ` ( ( 1 - ( cos ` A ) ) / ( 1 + ( cos ` A ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   Recre 13837   sqrcsqrt 13973   sincsin 14794   cosccos 14795   tanctan 14796   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

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