Theorem sqwvfoura 40445

Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the A coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqwvfoura.t	|- T = ( 2 x. pi )
sqwvfoura.f	|- F = ( x e. RR |-> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
sqwvfoura.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
sqwvfoura	|- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = 0 )

Distinct variable groups:   x, N   ph, x

Allowed substitution hints:   T( x)   F( x)

Proof of Theorem sqwvfoura

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 24210	. . . . . 6 |- pi e. RR
2	1	renegcli 10342	. . . . 5 |- -u pi e. RR
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -u pi e. RR )
4	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> pi e. RR )
5		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
6		negpilt0 39492	. . . . . . 7 |- -u pi < 0
7	2, 5, 6	ltleii 10160	. . . . . 6 |- -u pi <_ 0
8		pipos 24212	. . . . . . 7 |- 0 < pi
9	5, 1, 8	ltleii 10160	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
10	2, 1	elicc2i 12239	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( 0 e. RR /\ -u pi <_ 0 /\ 0 <_ pi ) )
11	5, 7, 9, 10	mpbir3an 1244	. . . . 5 |- 0 e. ( -u pi [,] pi )
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( -u pi [,] pi ) )
13		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> 1 e. RR )
14	13	renegcld 10457	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> -u 1 e. RR )
15	13, 14	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
17		sqwvfoura.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( x e. RR |-> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
18	16, 17	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : RR --> RR )
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> F : RR --> RR )
20		elioore 12205	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u pi (,) pi ) -> x e. RR )
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. RR )
22	19, 21	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
23		sqwvfoura.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN0 )
24	23	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> N e. RR )
26	25, 21	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
27	26	recoscld 14874	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
28	22, 27	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. RR )
29	28	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. CC )
30		elioore 12205	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x e. RR )
31	30, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
32	17	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
34	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi e. RR )
35		sqwvfoura.t	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = ( 2 x. pi )
36		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR+
37		pirp 24213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR+
38		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
39	36, 37, 38	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. pi ) e. RR+
40	35, 39	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- T e. RR+
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. RR+ )
42	30, 41	modcld 12674	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x mod T ) e. RR )
43		picn 24211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. CC
44	43	2timesi 11147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
45	35, 44	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( pi + pi )
46	45	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u pi + T ) = ( -u pi + ( pi + pi ) )
47	2	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi e. CC
48	47, 43, 43	addassi 10048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = ( -u pi + ( pi + pi ) )
49	43	negidi 10350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi + -u pi ) = 0
50	43, 47, 49	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u pi + pi ) = 0
51	50	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = ( 0 + pi )
52	43	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + pi ) = pi
53	51, 52	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = pi
54	46, 48, 53	3eqtr2ri 2651	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi = ( -u pi + T )
55	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi e. RR )
56		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
57	56, 1	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. pi ) e. RR
58	35, 57	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. RR )
60	2	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u pi e. RR*
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi e. RR* )
62		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 e. RR )
63	62	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 e. RR* )
64		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x e. ( -u pi (,) 0 ) )
65		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> -u pi < x )
66	61, 63, 64, 65	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi < x )
67	55, 30, 59, 66	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( -u pi + T ) < ( x + T ) )
68	54, 67	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi < ( x + T ) )
69	58	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T e. CC
70	69	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. T ) = T
71	70	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( 1 x. T )
72	71	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x + T ) = ( x + ( 1 x. T ) )
73	72	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x + T ) mod T ) = ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T )
74	30, 59	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) e. RR )
75	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 < pi )
76	62, 34, 74, 75, 68	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 < ( x + T ) )
77	62, 74, 76	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 <_ ( x + T ) )
78		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> x < 0 )
79	61, 63, 64, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x < 0 )
80	30, 62, 59, 79	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) < ( 0 + T ) )
81	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. CC )
82	81	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( 0 + T ) = T )
83	80, 82	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) < T )
84		modid 12695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x + T ) e. RR /\ T e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( x + T ) /\ ( x + T ) < T ) ) -> ( ( x + T ) mod T ) = ( x + T ) )
85	74, 41, 77, 83, 84	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( x + T ) mod T ) = ( x + T ) )
86		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 1 e. ZZ )
87		modcyc 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ T e. RR+ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T ) = ( x mod T ) )
88	30, 41, 86, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T ) = ( x mod T ) )
89	73, 85, 88	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) = ( x mod T ) )
90	68, 89	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi < ( x mod T ) )
91	34, 42, 90	ltnsymd 10186	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -. ( x mod T ) < pi )
92	91	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
93	33, 92	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( F ` x ) = -u 1 )
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
95	94	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
96	95	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) = ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) )
97		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
98	97	negcld 10379	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
99	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> N e. RR )
100	30	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> x e. RR )
101	99, 100	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
102	101	recoscld 14874	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
103		ioossicc 12259	. . . . . . . 8 |- ( -u pi (,) 0 ) C_ ( -u pi [,] 0 )
104	103	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u pi (,) 0 ) C_ ( -u pi [,] 0 ) )
105		ioombl 23333	. . . . . . . 8 |- ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol
106	105	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol )
107	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> N e. RR )
108		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -u pi [,] 0 ) C_ RR )
109	2, 5, 108	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi [,] 0 ) C_ RR
110	109	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi [,] 0 ) -> x e. RR )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> x e. RR )
112	107, 111	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
113	112	recoscld 14874	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
114		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR )
115		coscn 24199	. . . . . . . . . 10 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
116	115	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
117		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
118	109, 117	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u pi [,] 0 ) C_ CC
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] 0 ) C_ CC )
120	24	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
121		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- CC C_ CC
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> CC C_ CC )
123	119, 120, 122	constcncfg 40084	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> N ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
124	119, 122	idcncfg 40085	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> x ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
125	123, 124	mulcncf 23215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( N x. x ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
126	116, 125	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
127		cniccibl 23607	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR /\ ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
128	3, 114, 126, 127	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
129	104, 106, 113, 128	iblss 23571	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
130	98, 102, 129	iblmulc2 23597	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
131	96, 130	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
132		elioore 12205	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. RR )
133	132, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
134	132, 133, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
135	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> T e. RR+ )
136		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 e. RR )
137	136	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 e. RR* )
138	1	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR*
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi e. RR* )
140		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. ( 0 (,) pi ) )
141		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 0 < x )
142	137, 139, 140, 141	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < x )
143	136, 132, 142	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 <_ x )
144	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi e. RR )
145	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> T e. RR )
146		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> x < pi )
147	137, 139, 140, 146	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x < pi )
148		2timesgt 39500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi e. RR+ -> pi < ( 2 x. pi ) )
149	37, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi < ( 2 x. pi )
150	149, 35	breqtrri 4680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi < T
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi < T )
152	132, 144, 145, 147, 151	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x < T )
153		modid 12695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR /\ T e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x < T ) ) -> ( x mod T ) = x )
154	132, 135, 143, 152, 153	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( x mod T ) = x )
155	154, 147	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( x mod T ) < pi )
156	155	iftrued 4094	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = 1 )
157	134, 156	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( F ` x ) = 1 )
158	157	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
159	158	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
160	159	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) )
161	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. RR )
162	132	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> x e. RR )
163	161, 162	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
164	163	recoscld 14874	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
165		ioossicc 12259	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
166	165	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
167		ioombl 23333	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
168	167	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
169	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. RR )
170		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
171	5, 1, 170	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
172	171	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. RR )
173	172	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. RR )
174	169, 173	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
175	174	recoscld 14874	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
176	171, 117	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
178	177, 120, 122	constcncfg 40084	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> N ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
179	177, 122	idcncfg 40085	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> x ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
180	178, 179	mulcncf 23215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( N x. x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
181	116, 180	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
182		cniccibl 23607	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
183	114, 4, 181, 182	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
184	166, 168, 175, 183	iblss 23571	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
185	97, 164, 184	iblmulc2 23597	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
186	160, 185	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
187	3, 4, 12, 29, 131, 186	itgsplitioo 23604	. . 3 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) )
188	187	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) / pi ) )
189	95	itgeq2dv 23548	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = S. ( -u pi (,) 0 ) ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
190	98, 102, 129	itgmulc2 23600	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = S. ( -u pi (,) 0 ) ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
191		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( N x. x ) = ( 0 x. x ) )
192		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u pi (,) 0 ) C_ CC
193	192	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x e. CC )
194	193	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( 0 x. x ) = 0 )
195	191, 194	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( N x. x ) = 0 )
196	195	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = ( cos ` 0 ) )
197		cos0 14880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( cos ` 0 ) = 1
198	196, 197	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
199	198	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N = 0 ) /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
200	199	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x )
201		ioovolcl 23338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR )
202	2, 5, 201	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR )
204		itgconst 23585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol /\ ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR /\ 1 e. CC ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
205	106, 203, 97, 204	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
206	205	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
207		volioo 23337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR /\ -u pi <_ 0 ) -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = ( 0 - -u pi ) )
208	2, 5, 7, 207	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = ( 0 - -u pi )
209		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. CC
210	209, 43	subnegi 10360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 - -u pi ) = ( 0 + pi )
211	208, 210, 52	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = pi
212	211	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = pi )
213	212	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) = ( 1 x. pi ) )
214	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. CC )
215	214	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. pi ) = pi )
216	213, 215	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) = pi )
217	216	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) = pi )
218	200, 206, 217	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = pi )
219	218	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = ( -u 1 x. pi ) )
220	43	mulm1i 10475	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 x. pi ) = -u pi
221	220	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( -u 1 x. pi ) = -u pi )
222		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , -u pi , 0 ) = -u pi )
223	222	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> -u pi = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
224	223	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> -u pi = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
225	219, 221, 224	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
226	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> N e. RR )
227	23	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ N )
228	227	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> 0 <_ N )
229		neqne 2802	. . . . . . . . 9 |- ( -. N = 0 -> N =/= 0 )
230	229	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
231	226, 228, 230	ne0gt0d 10174	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> 0 < N )
232		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 1 e. CC )
233	232	negcld 10379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -u 1 e. CC )
234	233	mul01d 10235	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( -u 1 x. 0 ) = 0 )
235	120	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> N e. CC )
236	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -u pi e. RR )
237		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 0 e. RR )
238	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -u pi <_ 0 )
239		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 0 < N )
240	239	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> N =/= 0 )
241	235, 236, 237, 238, 240	itgcoscmulx 40185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = ( ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) / N ) )
242	120	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N x. 0 ) = 0 )
243	242	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. 0 ) ) = ( sin ` 0 ) )
244		sin0 14879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( sin ` 0 ) = 0
245	243, 244	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. 0 ) ) = 0 )
246	120, 214	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N x. -u pi ) = -u ( N x. pi ) )
247	246	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. -u pi ) ) = ( sin ` -u ( N x. pi ) ) )
248	120, 214	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N x. pi ) e. CC )
249		sinneg 14876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N x. pi ) e. CC -> ( sin ` -u ( N x. pi ) ) = -u ( sin ` ( N x. pi ) ) )
250	248, 249	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sin ` -u ( N x. pi ) ) = -u ( sin ` ( N x. pi ) ) )
251	247, 250	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. -u pi ) ) = -u ( sin ` ( N x. pi ) ) )
252	245, 251	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) = ( 0 - -u ( sin ` ( N x. pi ) ) ) )
253		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. CC )
254	248	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. pi ) ) e. CC )
255	253, 254	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 - -u ( sin ` ( N x. pi ) ) ) = ( 0 + ( sin ` ( N x. pi ) ) ) )
256	254	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 + ( sin ` ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( N x. pi ) ) )
257	252, 255, 256	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) = ( sin ` ( N x. pi ) ) )
258	257	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) = ( sin ` ( N x. pi ) ) )
259	258	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) / N ) = ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) )
260	23	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
261		sinkpi 24271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( sin ` ( N x. pi ) ) = 0 )
262	260, 261	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. pi ) ) = 0 )
263	262	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
264	263	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
265	235, 240	div0d 10800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( 0 / N ) = 0 )
266	264, 265	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) = 0 )
267	241, 259, 266	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = 0 )
268	267	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = ( -u 1 x. 0 ) )
269	240	neneqd 2799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -. N = 0 )
270	269	iffalsed 4097	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> if ( N = 0 , -u pi , 0 ) = 0 )
271	234, 268, 270	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
272	231, 271	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
273	225, 272	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
274	189, 190, 273	3eqtr2d 2662	. . . 4 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
275	159	itgeq2dv 23548	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
276	97, 164, 184	itgmulc2 23600	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = S. ( 0 (,) pi ) ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
277	164, 184	itgcl 23550	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x e. CC )
278	277	mulid2d 10058	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 x. S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x )
279		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N = 0 )
280	279	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. x ) = ( 0 x. x ) )
281	132	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
282	281	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> x e. CC )
283	282	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( 0 x. x ) = 0 )
284	280, 283	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. x ) = 0 )
285	284	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = ( cos ` 0 ) )
286	285, 197	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
287	286	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N = 0 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
288	287	itgeq2dv 23548	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x )
289		ioovolcl 23338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) e. RR )
290	5, 1, 289	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) e. RR
291		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
292		itgconst 23585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 (,) pi ) e. dom vol /\ ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) e. RR /\ 1 e. CC ) -> S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) )
293	167, 290, 291, 292	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) )
294	293	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) )
295	43	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
296		volioo 23337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ 0 <_ pi ) -> ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) = ( pi - 0 ) )
297	5, 1, 9, 296	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) = ( pi - 0 )
298	43	subid1i 10353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi - 0 ) = pi
299	297, 298	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) = pi
300	299	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = ( 1 x. pi )
301	300	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = ( 1 x. pi ) )
302		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , pi , 0 ) = pi )
303	295, 301, 302	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
304	303	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
305	288, 294, 304	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
306	262, 245	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
307	253	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 - 0 ) = 0 )
308	306, 307	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) = 0 )
309	308	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
310	309	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
311	310, 265	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) = 0 )
312	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> pi e. RR )
313	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 0 <_ pi )
314	235, 237, 312, 313, 240	itgcoscmulx 40185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) )
315	269	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> if ( N = 0 , pi , 0 ) = 0 )
316	311, 314, 315	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
317	231, 316	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
318	305, 317	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
319	278, 318	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
320	275, 276, 319	3eqtr2d 2662	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
321	274, 320	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) = ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) )
322	321	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) / pi ) = ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) )
323	222, 302	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = ( -u pi + pi ) )
324	323, 50	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = 0 )
325		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. N = 0 -> if ( N = 0 , -u pi , 0 ) = 0 )
326		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. N = 0 -> if ( N = 0 , pi , 0 ) = 0 )
327	325, 326	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( -. N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
328		00id 10211	. . . . . . 7 |- ( 0 + 0 ) = 0
329	327, 328	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( -. N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = 0 )
330	324, 329	pm2.61i 176	. . . . 5 |- ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = 0
331	330	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) = ( 0 / pi )
332	5, 8	gtneii 10149	. . . . 5 |- pi =/= 0
333	43, 332	div0i 10759	. . . 4 |- ( 0 / pi ) = 0
334	331, 333	eqtri 2644	. . 3 |- ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) = 0
335	334	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) = 0 )
336	188, 322, 335	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   mod cmo 12668   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fouriersw  40448