Theorem pntleml 25300

Description: Lemma for pnt 25303. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem3.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem3.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem3.A	|- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
pntlemp.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlemp.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlemp.d	|- D = ( A + 1 )
pntlemp.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlemp.K	|- ( ph -> A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( B / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) )

Assertion

Ref	Expression
pntleml	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   e, a, k, u, x, y, z, D   y, F, z   R, e, k, u, x, y, z   e, L, k, u, x, y, z   ph, x, y   B, e, k, x, y, z   ph, z

Allowed substitution hints:   ph( u, e, k, a)   A( u, e, k, a)   B( u, a)   R( a)   F( x, u, e, k, a)   L( a)

Proof of Theorem pntleml

Dummy variables s r t v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem3.r	. 2 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
2		pntlem3.a	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
3		pntlem3.A	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
4		eqid 2622	. 2 |- { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } = { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t }
5		pntlemp.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR+ )
6		pntlemp.l	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
7		pntlemp.d	. . . 4 |- D = ( A + 1 )
8		pntlemp.f	. . . 4 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
9	1, 2, 5, 6, 7, 8	pntlemd 25283	. . 3 |- ( ph -> ( L e. RR+ /\ D e. RR+ /\ F e. RR+ ) )
10	9	simp3d 1075	. 2 |- ( ph -> F e. RR+ )
11		0m0e0 11130	. . . . 5 |- ( 0 - 0 ) = 0
12		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) /\ r = 0 ) -> r = 0 )
13	12	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) /\ r = 0 ) -> ( r ^ 3 ) = ( 0 ^ 3 ) )
14		3nn 11186	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. NN
15		0exp 12895	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. NN -> ( 0 ^ 3 ) = 0 )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ^ 3 ) = 0
17	13, 16	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) /\ r = 0 ) -> ( r ^ 3 ) = 0 )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) /\ r = 0 ) -> ( F x. ( r ^ 3 ) ) = ( F x. 0 ) )
19	10	rpcnd 11874	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. CC )
20	19	mul01d 10235	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F x. 0 ) = 0 )
21	20	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) /\ r = 0 ) -> ( F x. 0 ) = 0 )
22	18, 21	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) /\ r = 0 ) -> ( F x. ( r ^ 3 ) ) = 0 )
23	12, 22	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) /\ r = 0 ) -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
24	11, 23, 12	3eqtr4a 2682	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) /\ r = 0 ) -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) = r )
25		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) /\ r = 0 ) -> r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } )
26	24, 25	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) /\ r = 0 ) -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } )
27		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = s -> ( y [,) +oo ) = ( s [,) +oo ) )
28	27	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( y = s -> ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r <-> A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) )
29	28	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r <-> E. s e. RR+ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r )
30		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> r e. ( 0 [,] A ) )
31		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
32	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> A e. RR+ )
33	32	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> A e. RR )
34		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( r e. ( 0 [,] A ) <-> ( r e. RR /\ 0 <_ r /\ r <_ A ) ) )
35	31, 33, 34	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( r e. ( 0 [,] A ) <-> ( r e. RR /\ 0 <_ r /\ r <_ A ) ) )
36	30, 35	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( r e. RR /\ 0 <_ r /\ r <_ A ) )
37	36	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> r e. RR )
38	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> F e. RR+ )
39	36	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> 0 <_ r )
40		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> r =/= 0 )
41	37, 39, 40	ne0gt0d 10174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> 0 < r )
42	37, 41	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> r e. RR+ )
43		3z 11410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. ZZ
44		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. RR+ /\ 3 e. ZZ ) -> ( r ^ 3 ) e. RR+ )
45	42, 43, 44	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( r ^ 3 ) e. RR+ )
46	38, 45	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( F x. ( r ^ 3 ) ) e. RR+ )
47	46	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( F x. ( r ^ 3 ) ) e. RR )
48	37, 47	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. RR )
49	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
50	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> B e. RR+ )
51	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
52		pntlemp.K	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( B / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> A. e e. ( 0 (,) 1 ) E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( B / e ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. e ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. e ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ e ) )
54	36	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> r <_ A )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r / D ) = ( r / D )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( exp ` ( B / ( r / D ) ) ) = ( exp ` ( B / ( r / D ) ) )
57		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> s e. RR+ )
58		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR+
59		rpaddcl 11854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> ( s + 1 ) e. RR+ )
60	57, 58, 59	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( s + 1 ) e. RR+ )
61	57	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> 0 <_ s )
62		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
63	57	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> s e. RR )
64		addge02 10539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. RR /\ s e. RR ) -> ( 0 <_ s <-> 1 <_ ( s + 1 ) ) )
65	62, 63, 64	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( 0 <_ s <-> 1 <_ ( s + 1 ) ) )
66	61, 65	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> 1 <_ ( s + 1 ) )
67	60, 66	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( ( s + 1 ) e. RR+ /\ 1 <_ ( s + 1 ) ) )
68	57	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> s e. RR* )
69	63	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> s <_ ( s + 1 ) )
70		df-ico 12181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [,) = ( t e. RR* , r e. RR* |-> { w e. RR* | ( t <_ w /\ w < r ) } )
71		xrletr 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s e. RR* /\ ( s + 1 ) e. RR* /\ v e. RR* ) -> ( ( s <_ ( s + 1 ) /\ ( s + 1 ) <_ v ) -> s <_ v ) )
72	70, 70, 71	ixxss1 12193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. RR* /\ s <_ ( s + 1 ) ) -> ( ( s + 1 ) [,) +oo ) C_ ( s [,) +oo ) )
73	68, 69, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( ( s + 1 ) [,) +oo ) C_ ( s [,) +oo ) )
74		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r )
75		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s + 1 ) [,) +oo ) C_ ( s [,) +oo ) -> ( A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r -> A. z e. ( ( s + 1 ) [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) )
76	73, 74, 75	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> A. z e. ( ( s + 1 ) [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r )
77	1, 32, 49, 50, 51, 7, 8, 53, 42, 54, 55, 56, 67, 76	pntlemp 25299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) )
78		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. RR+ -> w e. RR )
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> w e. RR )
80	79	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> w <_ w )
81		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. RR -> ( w e. ( w [,) +oo ) <-> ( w e. RR /\ w <_ w ) ) )
82	79, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( w e. ( w [,) +oo ) <-> ( w e. RR /\ w <_ w ) ) )
83	79, 80, 82	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> w e. ( w [,) +oo ) )
84		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = w -> ( R ` v ) = ( R ` w ) )
85		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = w -> v = w )
86	84, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = w -> ( ( R ` v ) / v ) = ( ( R ` w ) / w ) )
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = w -> ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) = ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) )
88	87	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = w -> ( ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) <-> ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
89	88	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( w [,) +oo ) -> ( A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
90	83, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
91	1	pntrf 25252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- R : RR+ --> RR
92	91	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. RR+ -> ( R ` w ) e. RR )
93		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R ` w ) e. RR /\ w e. RR+ ) -> ( ( R ` w ) / w ) e. RR )
94	92, 93	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. RR+ -> ( ( R ` w ) / w ) e. RR )
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( ( R ` w ) / w ) e. RR )
96	95	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( ( R ` w ) / w ) e. CC )
97	96	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) )
98		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> 0 e. RR )
99	96	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) e. RR )
100	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. RR )
101		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) e. RR /\ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) -> 0 <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
102	98, 99, 100, 101	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( ( 0 <_ ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) -> 0 <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
103	97, 102	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( ( R ` w ) / w ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) -> 0 <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
104	90, 103	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) -> 0 <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
105	104	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( E. w e. RR+ A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) -> 0 <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
106	77, 105	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> 0 <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) )
107	46	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> 0 <_ ( F x. ( r ^ 3 ) ) )
108	37, 47	subge02d 10619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( 0 <_ ( F x. ( r ^ 3 ) ) <-> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) <_ r ) )
109	107, 108	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) <_ r )
110	48, 37, 33, 109, 54	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) <_ A )
111		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. ( 0 [,] A ) <-> ( ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) /\ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) <_ A ) ) )
112	31, 33, 111	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. ( 0 [,] A ) <-> ( ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) /\ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) <_ A ) ) )
113	48, 106, 110, 112	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. ( 0 [,] A ) )
114	113, 77	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) ) -> ( ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. ( 0 [,] A ) /\ E. w e. RR+ A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
115	114	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) -> ( E. s e. RR+ A. z e. ( s [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r -> ( ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. ( 0 [,] A ) /\ E. w e. RR+ A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
116	29, 115	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r =/= 0 /\ r e. ( 0 [,] A ) ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r -> ( ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. ( 0 [,] A ) /\ E. w e. RR+ A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
117	116	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r =/= 0 ) /\ r e. ( 0 [,] A ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r -> ( ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. ( 0 [,] A ) /\ E. w e. RR+ A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
118	117	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r =/= 0 ) -> ( ( r e. ( 0 [,] A ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) -> ( ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. ( 0 [,] A ) /\ E. w e. RR+ A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
119		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( t = r -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) )
120	119	rexralbidv 3058	. . . . . . 7 |- ( t = r -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) )
121	120	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } <-> ( r e. ( 0 [,] A ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ r ) )
122		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
123	122	rexralbidv 3058	. . . . . . . 8 |- ( t = ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
124		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = z -> ( R ` v ) = ( R ` z ) )
125		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = z -> v = z )
126	124, 125	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = z -> ( ( R ` v ) / v ) = ( ( R ` z ) / z ) )
127	126	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = z -> ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) = ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) )
128	127	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = z -> ( ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
129	128	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) <-> A. z e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) )
130		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( w [,) +oo ) = ( y [,) +oo ) )
131	130	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( A. z e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) <-> A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
132	129, 131	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) <-> A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
133	132	cbvrexv 3172	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. RR+ A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) <-> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) )
134	123, 133	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( t = ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> E. w e. RR+ A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
135	134	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } <-> ( ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. ( 0 [,] A ) /\ E. w e. RR+ A. v e. ( w [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) ) )
136	118, 121, 135	3imtr4g 285	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r =/= 0 ) -> ( r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) )
137	136	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r =/= 0 ) /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } )
138	137	an32s 846	. . 3 |- ( ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) /\ r =/= 0 ) -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } )
139	26, 138	pm2.61dane 2881	. 2 |- ( ( ph /\ r e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } ) -> ( r - ( F x. ( r ^ 3 ) ) ) e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } )
140	1, 2, 3, 4, 10, 139	pntlem3 25298	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   ZZcz 11377  ;cdc 11493   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   expce 14792  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  pnt3  25301