Theorem fourierdlem30 40354

Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem30.ibl	|- ( ph -> ( x e. I |-> ( F x. -u G ) ) e. L^1 )
fourierlemreimleblemlte22.f	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> F e. CC )
fourierdlem30.g	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> G e. CC )
fourierdlem30.a	|- ( ph -> A e. CC )
fourierdlem30.x	|- X = ( abs ` A )
fourierdlem30.c	|- ( ph -> C e. CC )
fourierdlem30.y	|- Y = ( abs ` C )
fourierdlem30.z	|- Z = ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x )
fourierdlem30.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
fourierdlem30.r	|- ( ph -> R e. RR )
fourierdlem30.ler	|- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) <_ R )
fourierdlem30.b	|- ( ph -> B e. CC )
fourierdlem30.12	|- ( ph -> ( abs ` B ) <_ 1 )
fourierdlem30.d	|- ( ph -> D e. CC )
fourierdlem30.14	|- ( ph -> ( abs ` D ) <_ 1 )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem30	|- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) < E )

Distinct variable groups:   x, I   x, R   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)   E( x)   F( x)   G( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem fourierdlem30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem30.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
2		fourierdlem30.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. RR )
3	2	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
4		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
5		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. RR )
6		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < 1 )
8		fourierdlem30.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X = ( abs ` A )
9		fourierdlem30.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. CC )
10	9	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
11	8, 10	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X e. RR )
12		fourierdlem30.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Y = ( abs ` C )
13		fourierdlem30.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> C e. CC )
14	13	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
15	12, 14	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Y e. RR )
16	11, 15	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( X + Y ) e. RR )
17		fourierdlem30.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Z = ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x )
18		fourierlemreimleblemlte22.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> F e. CC )
19		fourierdlem30.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> G e. CC )
20	19	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> -u G e. CC )
21	18, 20	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F x. -u G ) e. CC )
22		fourierdlem30.ibl	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( F x. -u G ) ) e. L^1 )
23	21, 22	itgcl 23550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> S. I ( F x. -u G ) _d x e. CC )
24	23	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) e. RR )
25	17, 24	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Z e. RR )
26	16, 25	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR )
27		fourierdlem30.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> E e. RR+ )
28	27	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. RR )
29	27	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E =/= 0 )
30	26, 28, 29	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. RR )
31	30, 5	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR )
32	9	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
33	32, 8	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ X )
34	13	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` C ) )
35	34, 12	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ Y )
36	11, 15, 33, 35	addge0d 10603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 <_ ( X + Y ) )
37	23	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) )
38	37, 17	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 <_ Z )
39	16, 25, 36, 38	addge0d 10603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ ( ( X + Y ) + Z ) )
40	26, 27, 39	divge0d 11912	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) )
41	5, 30	addge02d 10616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) <-> 1 <_ ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
42	40, 41	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
43		fourierdlem30.ler	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) <_ R )
44	5, 31, 2, 42, 43	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 <_ R )
45	4, 5, 2, 7, 44	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < R )
46	45	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R =/= 0 )
47	1, 3, 46	divnegd 10814	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( B / R ) = ( -u B / R ) )
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A x. -u ( B / R ) ) = ( A x. ( -u B / R ) ) )
49	1	negcld 10379	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u B e. CC )
50	9, 49, 3, 46	divassd 10836	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A x. -u B ) / R ) = ( A x. ( -u B / R ) ) )
51	48, 50	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. -u ( B / R ) ) = ( ( A x. -u B ) / R ) )
52		fourierdlem30.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
53	52, 3, 46	divnegd 10814	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( D / R ) = ( -u D / R ) )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C x. -u ( D / R ) ) = ( C x. ( -u D / R ) ) )
55	52	negcld 10379	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u D e. CC )
56	13, 55, 3, 46	divassd 10836	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C x. -u D ) / R ) = ( C x. ( -u D / R ) ) )
57	54, 56	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C x. -u ( D / R ) ) = ( ( C x. -u D ) / R ) )
58	51, 57	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) = ( ( ( A x. -u B ) / R ) - ( ( C x. -u D ) / R ) ) )
59	9, 49	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. -u B ) e. CC )
60	13, 55	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C x. -u D ) e. CC )
61	59, 60, 3, 46	divsubdird 10840	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) = ( ( ( A x. -u B ) / R ) - ( ( C x. -u D ) / R ) ) )
62	58, 61	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) = ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) )
63	3, 46	reccld 10794	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / R ) e. CC )
64	63, 21, 22	itgmulc2 23600	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / R ) x. S. I ( F x. -u G ) _d x ) = S. I ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) _d x )
65	23, 3, 46	divrec2d 10805	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) = ( ( 1 / R ) x. S. I ( F x. -u G ) _d x ) )
66	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. CC )
67	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R =/= 0 )
68	19, 66, 67	divnegd 10814	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> -u ( G / R ) = ( -u G / R ) )
69	68	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F x. -u ( G / R ) ) = ( F x. ( -u G / R ) ) )
70	18, 20, 66, 67	divassd 10836	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( F x. -u G ) / R ) = ( F x. ( -u G / R ) ) )
71	21, 66, 67	divrec2d 10805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( F x. -u G ) / R ) = ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) )
72	69, 70, 71	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F x. -u ( G / R ) ) = ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) )
73	72	itgeq2dv 23548	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x = S. I ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) _d x )
74	64, 65, 73	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 |- ( ph -> S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x = ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) )
75	62, 74	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) = ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) - ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) ) )
76	59, 60	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) e. CC )
77	76, 23, 3, 46	divsubdird 10840	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) = ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) - ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) ) )
78	75, 77	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) = ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) )
79	78	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) = ( abs ` ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) ) )
80	76, 23	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) e. CC )
81	80, 3, 46	absdivd 14194	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) ) = ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( abs ` R ) ) )
82	4, 2, 45	ltled 10185	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ R )
83	2, 82	absidd 14161	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` R ) = R )
84	83	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( abs ` R ) ) = ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) )
85	79, 81, 84	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) = ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) )
86	80	abscld 14175	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) e. RR )
87	86, 2, 46	redivcld 10853	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) e. RR )
88	10, 14	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) e. RR )
89	88, 24	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) e. RR )
90	89, 2, 46	redivcld 10853	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) e. RR )
91	2, 45	elrpd 11869	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
92	76	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) e. RR )
93	92, 24	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) e. RR )
94	76, 23	abs2dif2d 14197	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) <_ ( ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
95	59	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( A x. -u B ) ) e. RR )
96	60	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( C x. -u D ) ) e. RR )
97	95, 96	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A x. -u B ) ) + ( abs ` ( C x. -u D ) ) ) e. RR )
98	59, 60	abs2dif2d 14197	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A x. -u B ) ) + ( abs ` ( C x. -u D ) ) ) )
99	9, 49	absmuld 14193	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( A x. -u B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` -u B ) ) )
100	49	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u B ) e. RR )
101	1	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` -u B ) = ( abs ` B ) )
102		fourierdlem30.12	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` B ) <_ 1 )
103	101, 102	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u B ) <_ 1 )
104	100, 5, 10, 32, 103	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` -u B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. 1 ) )
105	10	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
106	105	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. 1 ) = ( abs ` A ) )
107	104, 106	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` -u B ) ) <_ ( abs ` A ) )
108	99, 107	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( A x. -u B ) ) <_ ( abs ` A ) )
109	13, 55	absmuld 14193	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( C x. -u D ) ) = ( ( abs ` C ) x. ( abs ` -u D ) ) )
110	55	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u D ) e. RR )
111	52	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` -u D ) = ( abs ` D ) )
112		fourierdlem30.14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` D ) <_ 1 )
113	111, 112	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u D ) <_ 1 )
114	110, 5, 14, 34, 113	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. ( abs ` -u D ) ) <_ ( ( abs ` C ) x. 1 ) )
115	14	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. CC )
116	115	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. 1 ) = ( abs ` C ) )
117	114, 116	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. ( abs ` -u D ) ) <_ ( abs ` C ) )
118	109, 117	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( C x. -u D ) ) <_ ( abs ` C ) )
119	95, 96, 10, 14, 108, 118	le2addd 10646	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A x. -u B ) ) + ( abs ` ( C x. -u D ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) )
120	92, 97, 88, 98, 119	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) )
121	92, 88, 24, 120	leadd1dd 10641	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
122	86, 93, 89, 94, 121	letrd 10194	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
123	86, 89, 91, 122	lediv1dd 11930	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) )
124	30	ltp1d 10954	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) < ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
125	4, 30, 31, 40, 124	lelttrd 10195	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
126	125	gt0ne0d 10592	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) =/= 0 )
127	89, 31, 126	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) e. RR )
128	30, 40	ge0p1rpd 11902	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR+ )
129	8	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( abs ` A ) = X
130	12	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( abs ` C ) = Y
131	129, 130	oveq12i 6662	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) = ( X + Y )
132	17	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) = Z
133	131, 132	oveq12i 6662	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) = ( ( X + Y ) + Z )
134	39, 133	syl6breqr 4695	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
135	128, 91, 89, 134, 43	lediv2ad 11894	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
136	133	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
137		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X + Y ) + Z ) = 0 -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( 0 / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
138	137	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( 0 / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
139	30	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. CC )
140	5	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
141	139, 140	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. CC )
142	141	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. CC )
143		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X + Y ) + Z ) = 0 -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) = ( 0 / E ) )
144	143	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) = ( 0 / E ) )
145	27	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E e. CC )
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> E e. CC )
147	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> E =/= 0 )
148	146, 147	div0d 10800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( 0 / E ) = 0 )
149	144, 148	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) = 0 )
150	149	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
151		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
152	150, 151	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) = 1 )
153		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . 11 |- 1 =/= 0
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 1 =/= 0 )
155	152, 154	eqnetrd 2861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) =/= 0 )
156	142, 155	div0d 10800	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( 0 / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = 0 )
157	138, 156	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = 0 )
158	27	rpgt0d 11875	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < E )
159	158	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 0 < E )
160	157, 159	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
161	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR )
162	27	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> E e. RR+ )
163	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 0 <_ ( ( X + Y ) + Z ) )
164		neqne 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 -> ( ( X + Y ) + Z ) =/= 0 )
165	164	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( X + Y ) + Z ) =/= 0 )
166	161, 163, 165	ne0gt0d 10174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 0 < ( ( X + Y ) + Z ) )
167	161, 166	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR+ )
168	167, 162	rpdivcld 11889	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. RR+ )
169		1rp 11836	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
170	169	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 1 e. RR+ )
171	168, 170	rpaddcld 11887	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR+ )
172	124	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) < ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
173	161, 162, 171, 172	ltdiv23d 11937	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
174	160, 173	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
175	136, 174	syl5eqbr 4688	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
176	90, 127, 28, 135, 175	lelttrd 10195	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) < E )
177	87, 90, 28, 123, 176	lelttrd 10195	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) < E )
178	85, 177	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) < E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   RR+crp 11832   abscabs 13974   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  fourierdlem47  40370