Theorem nghmco 22542

Description: The composition of normed group homomorphisms is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nghmco	|- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) )

Proof of Theorem nghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nghmrcl1 22536	. . 3 |- ( G e. ( S NGHom T ) -> S e. NrmGrp )
2	1	adantl 482	. 2 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> S e. NrmGrp )
3		nghmrcl2 22537	. . 3 |- ( F e. ( T NGHom U ) -> U e. NrmGrp )
4	3	adantr 481	. 2 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> U e. NrmGrp )
5		nghmghm 22538	. . 3 |- ( F e. ( T NGHom U ) -> F e. ( T GrpHom U ) )
6		nghmghm 22538	. . 3 |- ( G e. ( S NGHom T ) -> G e. ( S GrpHom T ) )
7		ghmco 17680	. . 3 |- ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) )
8	5, 6, 7	syl2an 494	. 2 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) )
9		eqid 2622	. . . 4 |- ( T normOp U ) = ( T normOp U )
10	9	nghmcl 22531	. . 3 |- ( F e. ( T NGHom U ) -> ( ( T normOp U ) ` F ) e. RR )
11		eqid 2622	. . . 4 |- ( S normOp T ) = ( S normOp T )
12	11	nghmcl 22531	. . 3 |- ( G e. ( S NGHom T ) -> ( ( S normOp T ) ` G ) e. RR )
13		remulcl 10021	. . 3 |- ( ( ( ( T normOp U ) ` F ) e. RR /\ ( ( S normOp T ) ` G ) e. RR ) -> ( ( ( T normOp U ) ` F ) x. ( ( S normOp T ) ` G ) ) e. RR )
14	10, 12, 13	syl2an 494	. 2 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( ( ( T normOp U ) ` F ) x. ( ( S normOp T ) ` G ) ) e. RR )
15		eqid 2622	. . 3 |- ( S normOp U ) = ( S normOp U )
16	15, 9, 11	nmoco 22541	. 2 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( ( S normOp U ) ` ( F o. G ) ) <_ ( ( ( T normOp U ) ` F ) x. ( ( S normOp T ) ` G ) ) )
17	15	bddnghm 22530	. 2 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ U e. NrmGrp /\ ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) ) /\ ( ( ( ( T normOp U ) ` F ) x. ( ( S normOp T ) ` G ) ) e. RR /\ ( ( S normOp U ) ` ( F o. G ) ) <_ ( ( ( T normOp U ) ` F ) x. ( ( S normOp T ) ` G ) ) ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) )
18	2, 4, 8, 14, 16, 17	syl32anc 1334	1 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S NGHom U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   x. cmul 9941   <_ cle 10075   GrpHom cghm 17657  NrmGrpcngp 22382   normOpcnmo 22509   NGHom cnghm 22510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nmo 22512  df-nghm 22513

This theorem is referenced by:  nmhmco  22560