Theorem nmoco 22541

Description: An upper bound on the operator norm of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoco.1	|- N = ( S normOp U )
nmoco.2	|- L = ( T normOp U )
nmoco.3	|- M = ( S normOp T )

Assertion

Ref	Expression
nmoco	|- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( N ` ( F o. G ) ) <_ ( ( L ` F ) x. ( M ` G ) ) )

Proof of Theorem nmoco

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoco.1	. 2 |- N = ( S normOp U )
2		eqid 2622	. 2 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		eqid 2622	. 2 |- ( norm ` S ) = ( norm ` S )
4		eqid 2622	. 2 |- ( norm ` U ) = ( norm ` U )
5		eqid 2622	. 2 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
6		nghmrcl1 22536	. . 3 |- ( G e. ( S NGHom T ) -> S e. NrmGrp )
7	6	adantl 482	. 2 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> S e. NrmGrp )
8		nghmrcl2 22537	. . 3 |- ( F e. ( T NGHom U ) -> U e. NrmGrp )
9	8	adantr 481	. 2 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> U e. NrmGrp )
10		nghmghm 22538	. . 3 |- ( F e. ( T NGHom U ) -> F e. ( T GrpHom U ) )
11		nghmghm 22538	. . 3 |- ( G e. ( S NGHom T ) -> G e. ( S GrpHom T ) )
12		ghmco 17680	. . 3 |- ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) )
13	10, 11, 12	syl2an 494	. 2 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) )
14		nmoco.2	. . . 4 |- L = ( T normOp U )
15	14	nghmcl 22531	. . 3 |- ( F e. ( T NGHom U ) -> ( L ` F ) e. RR )
16		nmoco.3	. . . 4 |- M = ( S normOp T )
17	16	nghmcl 22531	. . 3 |- ( G e. ( S NGHom T ) -> ( M ` G ) e. RR )
18		remulcl 10021	. . 3 |- ( ( ( L ` F ) e. RR /\ ( M ` G ) e. RR ) -> ( ( L ` F ) x. ( M ` G ) ) e. RR )
19	15, 17, 18	syl2an 494	. 2 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( ( L ` F ) x. ( M ` G ) ) e. RR )
20		nghmrcl1 22536	. . . . 5 |- ( F e. ( T NGHom U ) -> T e. NrmGrp )
21	14	nmoge0 22525	. . . . 5 |- ( ( T e. NrmGrp /\ U e. NrmGrp /\ F e. ( T GrpHom U ) ) -> 0 <_ ( L ` F ) )
22	20, 8, 10, 21	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( F e. ( T NGHom U ) -> 0 <_ ( L ` F ) )
23	15, 22	jca 554	. . 3 |- ( F e. ( T NGHom U ) -> ( ( L ` F ) e. RR /\ 0 <_ ( L ` F ) ) )
24		nghmrcl2 22537	. . . . 5 |- ( G e. ( S NGHom T ) -> T e. NrmGrp )
25	16	nmoge0 22525	. . . . 5 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> 0 <_ ( M ` G ) )
26	6, 24, 11, 25	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( G e. ( S NGHom T ) -> 0 <_ ( M ` G ) )
27	17, 26	jca 554	. . 3 |- ( G e. ( S NGHom T ) -> ( ( M ` G ) e. RR /\ 0 <_ ( M ` G ) ) )
28		mulge0 10546	. . 3 |- ( ( ( ( L ` F ) e. RR /\ 0 <_ ( L ` F ) ) /\ ( ( M ` G ) e. RR /\ 0 <_ ( M ` G ) ) ) -> 0 <_ ( ( L ` F ) x. ( M ` G ) ) )
29	23, 27, 28	syl2an 494	. 2 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> 0 <_ ( ( L ` F ) x. ( M ` G ) ) )
30	8	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> U e. NrmGrp )
31	10	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> F e. ( T GrpHom U ) )
32		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
33		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
34	32, 33	ghmf 17664	. . . . . . 7 |- ( F e. ( T GrpHom U ) -> F : ( Base ` T ) --> ( Base ` U ) )
35	31, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> F : ( Base ` T ) --> ( Base ` U ) )
36	11	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> G e. ( S GrpHom T ) )
37	2, 32	ghmf 17664	. . . . . . . 8 |- ( G e. ( S GrpHom T ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
39		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
40	38, 39	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` T ) )
41	35, 40	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( F ` ( G ` x ) ) e. ( Base ` U ) )
42	33, 4	nmcl 22420	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( F ` ( G ` x ) ) e. ( Base ` U ) ) -> ( ( norm ` U ) ` ( F ` ( G ` x ) ) ) e. RR )
43	30, 41, 42	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` U ) ` ( F ` ( G ` x ) ) ) e. RR )
44	15	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( L ` F ) e. RR )
45	20	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> T e. NrmGrp )
46		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( norm ` T ) = ( norm ` T )
47	32, 46	nmcl 22420	. . . . . 6 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( G ` x ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) e. RR )
48	45, 40, 47	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) e. RR )
49	44, 48	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( L ` F ) x. ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) ) e. RR )
50	17	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( M ` G ) e. RR )
51	2, 3	nmcl 22420	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. NrmGrp /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` x ) e. RR )
52	6, 51	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( S NGHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` x ) e. RR )
53	52	ad2ant2lr 784	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` S ) ` x ) e. RR )
54	50, 53	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( M ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) e. RR )
55	44, 54	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( L ` F ) x. ( ( M ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) ) e. RR )
56		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> F e. ( T NGHom U ) )
57	14, 32, 46, 4	nmoi 22532	. . . . 5 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ ( G ` x ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` U ) ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ ( ( L ` F ) x. ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) ) )
58	56, 40, 57	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` U ) ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ ( ( L ` F ) x. ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) ) )
59	23	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( L ` F ) e. RR /\ 0 <_ ( L ` F ) ) )
60	16, 2, 3, 46	nmoi 22532	. . . . . 6 |- ( ( G e. ( S NGHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) <_ ( ( M ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) )
61	60	ad2ant2lr 784	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) <_ ( ( M ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) )
62		lemul2a 10878	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) e. RR /\ ( ( M ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) e. RR /\ ( ( L ` F ) e. RR /\ 0 <_ ( L ` F ) ) ) /\ ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) <_ ( ( M ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) ) -> ( ( L ` F ) x. ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) ) <_ ( ( L ` F ) x. ( ( M ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) ) )
63	48, 54, 59, 61, 62	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( L ` F ) x. ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) ) <_ ( ( L ` F ) x. ( ( M ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) ) )
64	43, 49, 55, 58, 63	letrd 10194	. . 3 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` U ) ` ( F ` ( G ` x ) ) ) <_ ( ( L ` F ) x. ( ( M ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) ) )
65		fvco3 6275	. . . . 5 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
66	38, 39, 65	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
67	66	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` U ) ` ( ( F o. G ) ` x ) ) = ( ( norm ` U ) ` ( F ` ( G ` x ) ) ) )
68	44	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( L ` F ) e. CC )
69	50	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( M ` G ) e. CC )
70	53	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` S ) ` x ) e. CC )
71	68, 69, 70	mulassd 10063	. . 3 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( ( L ` F ) x. ( M ` G ) ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) = ( ( L ` F ) x. ( ( M ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) ) )
72	64, 67, 71	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` U ) ` ( ( F o. G ) ` x ) ) <_ ( ( ( L ` F ) x. ( M ` G ) ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) )
73	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 19, 29, 72	nmolb2d 22522	1 |- ( ( F e. ( T NGHom U ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( N ` ( F o. G ) ) <_ ( ( L ` F ) x. ( M ` G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   <_ cle 10075   Basecbs 15857   0gc0g 16100   GrpHom cghm 17657   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   normOpcnmo 22509   NGHom cnghm 22510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nmo 22512  df-nghm 22513

This theorem is referenced by:  nghmco  22542