Theorem nmoleub 22535

Description: The operator norm, defined as an infimum of upper bounds, can also be defined as a supremum of norms of F ( x ) away from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	|- N = ( S normOp T )
nmoi.2	|- V = ( Base ` S )
nmoi.3	|- L = ( norm ` S )
nmoi.4	|- M = ( norm ` T )
nmoi2.z	|- .0. = ( 0g ` S )
nmoleub.1	|- ( ph -> S e. NrmGrp )
nmoleub.2	|- ( ph -> T e. NrmGrp )
nmoleub.3	|- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )
nmoleub.4	|- ( ph -> A e. RR* )
nmoleub.5	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
nmoleub	|- ( ph -> ( ( N ` F ) <_ A <-> A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, L   x, M   x, S   x, T   x, A   x, F   ph, x   x, V   x, N

Allowed substitution hint:   .0. ( x)

Proof of Theorem nmoleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. NrmGrp )
2	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> T e. NrmGrp )
3		nmoleub.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )
4		nmoi.2	. . . . . . . . . . . 12 |- V = ( Base ` S )
5		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
6	4, 5	ghmf 17664	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : V --> ( Base ` T ) )
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : V --> ( Base ` T ) )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> F : V --> ( Base ` T ) )
9		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> x e. V )
10		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : V --> ( Base ` T ) /\ x e. V ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` T ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` T ) )
12		nmoi.4	. . . . . . . . 9 |- M = ( norm ` T )
13	5, 12	nmcl 22420	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( F ` x ) e. ( Base ` T ) ) -> ( M ` ( F ` x ) ) e. RR )
14	2, 11, 13	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( M ` ( F ` x ) ) e. RR )
15		nmoleub.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. NrmGrp )
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) -> S e. NrmGrp )
17		nmoi.3	. . . . . . . . . 10 |- L = ( norm ` S )
18		nmoi2.z	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` S )
19	4, 17, 18	nmrpcl 22424	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. NrmGrp /\ x e. V /\ x =/= .0. ) -> ( L ` x ) e. RR+ )
20	19	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. NrmGrp /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( L ` x ) e. RR+ )
21	16, 20	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( L ` x ) e. RR+ )
22	14, 21	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) e. RR )
23	22	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) e. RR* )
24		nmofval.1	. . . . . . . 8 |- N = ( S normOp T )
25	24	nmocl 22524	. . . . . . 7 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( N ` F ) e. RR* )
26	15, 1, 3, 25	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` F ) e. RR* )
27	26	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( N ` F ) e. RR* )
28		nmoleub.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR* )
29	28	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> A e. RR* )
30	15, 1, 3	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) )
31	30	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) -> ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) )
32	24, 4, 17, 12, 18	nmoi2 22534	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ ( N ` F ) )
33	31, 32	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ ( N ` F ) )
34		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( N ` F ) <_ A )
35	23, 27, 29, 33, 34	xrletrd 11993	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A )
36	35	expr 643	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ x e. V ) -> ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) )
37	36	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) -> A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) )
38		0le0 11110	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 0
39		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> A e. RR )
40	39	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> A e. CC )
41	40	mul01d 10235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> ( A x. 0 ) = 0 )
42	38, 41	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> 0 <_ ( A x. 0 ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = .0. -> ( F ` x ) = ( F ` .0. ) )
44	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
46	18, 45	ghmid 17666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` .0. ) = ( 0g ` T ) )
47	44, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) -> ( F ` .0. ) = ( 0g ` T ) )
48	43, 47	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> ( F ` x ) = ( 0g ` T ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> ( M ` ( F ` x ) ) = ( M ` ( 0g ` T ) ) )
50	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> T e. NrmGrp )
51	12, 45	nm0 22433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. NrmGrp -> ( M ` ( 0g ` T ) ) = 0 )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> ( M ` ( 0g ` T ) ) = 0 )
53	49, 52	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> ( M ` ( F ` x ) ) = 0 )
54		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = .0. -> ( L ` x ) = ( L ` .0. ) )
55	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) -> S e. NrmGrp )
56	17, 18	nm0 22433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. NrmGrp -> ( L ` .0. ) = 0 )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) -> ( L ` .0. ) = 0 )
58	54, 57	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> ( L ` x ) = 0 )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> ( A x. ( L ` x ) ) = ( A x. 0 ) )
60	42, 53, 59	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( A x. ( L ` x ) ) )
61	60	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x = .0. ) -> ( ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) -> ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( A x. ( L ` x ) ) ) )
62		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x =/= .0. ) -> x =/= .0. )
63	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) -> T e. NrmGrp )
64	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> F : V --> ( Base ` T ) )
65	64, 10	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` T ) )
66	63, 65, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) -> ( M ` ( F ` x ) ) e. RR )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x =/= .0. ) -> ( M ` ( F ` x ) ) e. RR )
68		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x =/= .0. ) -> A e. RR )
69	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> S e. NrmGrp )
70	19	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ x e. V ) /\ x =/= .0. ) -> ( L ` x ) e. RR+ )
71	69, 70	sylanl1 682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x =/= .0. ) -> ( L ` x ) e. RR+ )
72	67, 68, 71	ledivmul2d 11926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x =/= .0. ) -> ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A <-> ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( A x. ( L ` x ) ) ) )
73	72	biimpd 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x =/= .0. ) -> ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A -> ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( A x. ( L ` x ) ) ) )
74	62, 73	embantd 59	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) /\ x =/= .0. ) -> ( ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) -> ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( A x. ( L ` x ) ) ) )
75	61, 74	pm2.61dane 2881	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ x e. V ) -> ( ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) -> ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( A x. ( L ` x ) ) ) )
76	75	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> ( A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) -> A. x e. V ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( A x. ( L ` x ) ) ) )
77	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> T e. NrmGrp )
78	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
79		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> A e. RR )
80		nmoleub.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ A )
81	80	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> 0 <_ A )
82	24, 4, 17, 12	nmolb 22521	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A. x e. V ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( A x. ( L ` x ) ) -> ( N ` F ) <_ A ) )
83	69, 77, 78, 79, 81, 82	syl311anc 1340	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> ( A. x e. V ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( A x. ( L ` x ) ) -> ( N ` F ) <_ A ) )
84	76, 83	syld 47	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. RR ) -> ( A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) -> ( N ` F ) <_ A ) )
85	84	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. RR ) /\ A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) ) -> ( N ` F ) <_ A )
86	85	an32s 846	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) ) /\ A e. RR ) -> ( N ` F ) <_ A )
87	26	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) ) /\ A = +oo ) -> ( N ` F ) e. RR* )
88		pnfge 11964	. . . . 5 |- ( ( N ` F ) e. RR* -> ( N ` F ) <_ +oo )
89	87, 88	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) ) /\ A = +oo ) -> ( N ` F ) <_ +oo )
90		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) ) /\ A = +oo ) -> A = +oo )
91	89, 90	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) ) /\ A = +oo ) -> ( N ` F ) <_ A )
92		ge0nemnf 12004	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A =/= -oo )
93	28, 80, 92	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= -oo )
94	28, 93	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )
95		xrnemnf 11951	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo ) )
96	94, 95	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. RR \/ A = +oo ) )
97	96	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) ) -> ( A e. RR \/ A = +oo ) )
98	86, 91, 97	mpjaodan 827	. 2 |- ( ( ph /\ A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) ) -> ( N ` F ) <_ A )
99	37, 98	impbida 877	1 |- ( ph -> ( ( N ` F ) <_ A <-> A. x e. V ( x =/= .0. -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / ( L ` x ) ) <_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   / cdiv 10684   RR+crp 11832   Basecbs 15857   0gc0g 16100   GrpHom cghm 17657   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   normOpcnmo 22509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nmo 22512  df-nghm 22513

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