Theorem nmoptrii 28953

Description: Triangle inequality for the norms of bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	|- S e. BndLinOp
nmoptri.2	|- T e. BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmoptrii	|- ( normop ` ( S +op T ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) )

Proof of Theorem nmoptrii

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . . 5 |- S e. BndLinOp
2		bdopf 28721	. . . . 5 |- ( S e. BndLinOp -> S : ~H --> ~H )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- S : ~H --> ~H
4		nmoptri.2	. . . . 5 |- T e. BndLinOp
5		bdopf 28721	. . . . 5 |- ( T e. BndLinOp -> T : ~H --> ~H )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- T : ~H --> ~H
7	3, 6	hoaddcli 28627	. . 3 |- ( S +op T ) : ~H --> ~H
8		nmopre 28729	. . . . . 6 |- ( S e. BndLinOp -> ( normop ` S ) e. RR )
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( normop ` S ) e. RR
10		nmopre 28729	. . . . . 6 |- ( T e. BndLinOp -> ( normop ` T ) e. RR )
11	4, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( normop ` T ) e. RR
12	9, 11	readdcli 10053	. . . 4 |- ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) e. RR
13	12	rexri 10097	. . 3 |- ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) e. RR*
14		nmopub 28767	. . 3 |- ( ( ( S +op T ) : ~H --> ~H /\ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) e. RR* ) -> ( ( normop ` ( S +op T ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( S +op T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) ) ) )
15	7, 13, 14	mp2an 708	. 2 |- ( ( normop ` ( S +op T ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( S +op T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) ) )
16	3, 6	hoscli 28621	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> ( ( S +op T ) ` x ) e. ~H )
17		normcl 27982	. . . . . 6 |- ( ( ( S +op T ) ` x ) e. ~H -> ( normh ` ( ( S +op T ) ` x ) ) e. RR )
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( ( S +op T ) ` x ) ) e. RR )
19	18	adantr 481	. . . 4 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( S +op T ) ` x ) ) e. RR )
20	3	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> ( S ` x ) e. ~H )
21		normcl 27982	. . . . . . 7 |- ( ( S ` x ) e. ~H -> ( normh ` ( S ` x ) ) e. RR )
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( S ` x ) ) e. RR )
23	6	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> ( T ` x ) e. ~H )
24		normcl 27982	. . . . . . 7 |- ( ( T ` x ) e. ~H -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
26	22, 25	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( x e. ~H -> ( ( normh ` ( S ` x ) ) + ( normh ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
27	26	adantr 481	. . . 4 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( ( normh ` ( S ` x ) ) + ( normh ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
28	12	a1i 11	. . . 4 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) e. RR )
29		hosval 28599	. . . . . . . 8 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( S +op T ) ` x ) = ( ( S ` x ) +h ( T ` x ) ) )
30	3, 6, 29	mp3an12 1414	. . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> ( ( S +op T ) ` x ) = ( ( S ` x ) +h ( T ` x ) ) )
31	30	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( ( S +op T ) ` x ) ) = ( normh ` ( ( S ` x ) +h ( T ` x ) ) ) )
32		norm-ii 27995	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ` x ) e. ~H /\ ( T ` x ) e. ~H ) -> ( normh ` ( ( S ` x ) +h ( T ` x ) ) ) <_ ( ( normh ` ( S ` x ) ) + ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
33	20, 23, 32	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( ( S ` x ) +h ( T ` x ) ) ) <_ ( ( normh ` ( S ` x ) ) + ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
34	31, 33	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( ( S +op T ) ` x ) ) <_ ( ( normh ` ( S ` x ) ) + ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
35	34	adantr 481	. . . 4 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( S +op T ) ` x ) ) <_ ( ( normh ` ( S ` x ) ) + ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
36		nmoplb 28766	. . . . . 6 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( S ` x ) ) <_ ( normop ` S ) )
37	3, 36	mp3an1 1411	. . . . 5 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( S ` x ) ) <_ ( normop ` S ) )
38		nmoplb 28766	. . . . . 6 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) )
39	6, 38	mp3an1 1411	. . . . 5 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) )
40		le2add 10510	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( normh ` ( S ` x ) ) e. RR /\ ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR ) /\ ( ( normop ` S ) e. RR /\ ( normop ` T ) e. RR ) ) -> ( ( ( normh ` ( S ` x ) ) <_ ( normop ` S ) /\ ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) ) -> ( ( normh ` ( S ` x ) ) + ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) ) )
41	9, 11, 40	mpanr12 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( normh ` ( S ` x ) ) e. RR /\ ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( S ` x ) ) <_ ( normop ` S ) /\ ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) ) -> ( ( normh ` ( S ` x ) ) + ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) ) )
42	22, 25, 41	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( x e. ~H -> ( ( ( normh ` ( S ` x ) ) <_ ( normop ` S ) /\ ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) ) -> ( ( normh ` ( S ` x ) ) + ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) ) )
43	42	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( ( ( normh ` ( S ` x ) ) <_ ( normop ` S ) /\ ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) ) -> ( ( normh ` ( S ` x ) ) + ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) ) )
44	37, 39, 43	mp2and 715	. . . 4 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( ( normh ` ( S ` x ) ) + ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) )
45	19, 27, 28, 35, 44	letrd 10194	. . 3 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( S +op T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) )
46	45	ex 450	. 2 |- ( x e. ~H -> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( S +op T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) ) ) )
47	15, 46	mprgbir 2927	1 |- ( normop ` ( S +op T ) ) <_ ( ( normop ` S ) + ( normop ` T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   ~Hchil 27776   +h cva 27777   normhcno 27780   +op chos 27795   normopcnop 27802   BndLinOpcbo 27805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hosum 28589  df-nmop 28698  df-lnop 28700  df-bdop 28701

This theorem is referenced by:  bdophsi  28955  nmoptri2i  28958  unierri  28963