Theorem nmopcoi 28954

Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	|- S e. BndLinOp
nmoptri.2	|- T e. BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoi	|- ( normop ` ( S o. T ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) )

Proof of Theorem nmopcoi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . . . 6 |- S e. BndLinOp
2		bdopln 28720	. . . . . 6 |- ( S e. BndLinOp -> S e. LinOp )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- S e. LinOp
4		nmoptri.2	. . . . . 6 |- T e. BndLinOp
5		bdopln 28720	. . . . . 6 |- ( T e. BndLinOp -> T e. LinOp )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- T e. LinOp
7	3, 6	lnopcoi 28862	. . . 4 |- ( S o. T ) e. LinOp
8	7	lnopfi 28828	. . 3 |- ( S o. T ) : ~H --> ~H
9		nmopre 28729	. . . . . 6 |- ( S e. BndLinOp -> ( normop ` S ) e. RR )
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( normop ` S ) e. RR
11		nmopre 28729	. . . . . 6 |- ( T e. BndLinOp -> ( normop ` T ) e. RR )
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( normop ` T ) e. RR
13	10, 12	remulcli 10054	. . . 4 |- ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) e. RR
14	13	rexri 10097	. . 3 |- ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) e. RR*
15		nmopub 28767	. . 3 |- ( ( ( S o. T ) : ~H --> ~H /\ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) e. RR* ) -> ( ( normop ` ( S o. T ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) ) ) )
16	8, 14, 15	mp2an 708	. 2 |- ( ( normop ` ( S o. T ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) ) )
17		0le0 11110	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` T ) = 0 /\ x e. ~H ) -> 0 <_ 0 )
19	3, 6	lnopco0i 28863	. . . . . . . 8 |- ( ( normop ` T ) = 0 -> ( normop ` ( S o. T ) ) = 0 )
20	7	nmlnop0iHIL 28855	. . . . . . . 8 |- ( ( normop ` ( S o. T ) ) = 0 <-> ( S o. T ) = 0hop )
21	19, 20	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` T ) = 0 -> ( S o. T ) = 0hop )
22		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( ( S o. T ) = 0hop -> ( ( S o. T ) ` x ) = ( 0hop ` x ) )
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( S o. T ) = 0hop -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) = ( normh ` ( 0hop ` x ) ) )
24		ho0val 28609	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~H -> ( 0hop ` x ) = 0h )
25	24	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( 0hop ` x ) ) = ( normh ` 0h ) )
26		norm0 27985	. . . . . . . . 9 |- ( normh ` 0h ) = 0
27	25, 26	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( 0hop ` x ) ) = 0 )
28	23, 27	sylan9eq 2676	. . . . . . 7 |- ( ( ( S o. T ) = 0hop /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) = 0 )
29	21, 28	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` T ) = 0 /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) = 0 )
30		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( ( normop ` T ) = 0 -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) = ( ( normop ` S ) x. 0 ) )
31	10	recni 10052	. . . . . . . . 9 |- ( normop ` S ) e. CC
32	31	mul01i 10226	. . . . . . . 8 |- ( ( normop ` S ) x. 0 ) = 0
33	30, 32	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` T ) = 0 -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) = 0 )
34	33	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` T ) = 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) = 0 )
35	18, 29, 34	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` T ) = 0 /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) )
36	35	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ( normop ` T ) = 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) )
37		df-ne 2795	. . . . 5 |- ( ( normop ` T ) =/= 0 <-> -. ( normop ` T ) = 0 )
38	8	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ~H -> ( ( S o. T ) ` x ) e. ~H )
39		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S o. T ) ` x ) e. ~H -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) e. RR )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) e. RR )
41	40	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) e. CC )
42	12	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( normop ` T ) e. CC
43		divrec2 10702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) e. CC /\ ( normop ` T ) e. CC /\ ( normop ` T ) =/= 0 ) -> ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) x. ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) ) )
44	42, 43	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) e. CC /\ ( normop ` T ) =/= 0 ) -> ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) x. ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) ) )
45	41, 44	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~H /\ ( normop ` T ) =/= 0 ) -> ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) x. ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) ) )
46	45	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) x. ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) ) )
47	12	rerecclzi 10789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( normop ` T ) =/= 0 -> ( 1 / ( normop ` T ) ) e. RR )
48		bdopf 28721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. BndLinOp -> T : ~H --> ~H )
49	4, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T : ~H --> ~H
50		nmopgt0 28771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T : ~H --> ~H -> ( ( normop ` T ) =/= 0 <-> 0 < ( normop ` T ) ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( normop ` T ) =/= 0 <-> 0 < ( normop ` T ) )
52	12	recgt0i 10928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 < ( normop ` T ) -> 0 < ( 1 / ( normop ` T ) ) )
53	51, 52	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( normop ` T ) =/= 0 -> 0 < ( 1 / ( normop ` T ) ) )
54		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
55		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / ( normop ` T ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / ( normop ` T ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( normop ` T ) ) ) )
56	54, 55	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / ( normop ` T ) ) e. RR -> ( 0 < ( 1 / ( normop ` T ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( normop ` T ) ) ) )
57	47, 53, 56	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( normop ` T ) =/= 0 -> 0 <_ ( 1 / ( normop ` T ) ) )
58	47, 57	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( normop ` T ) =/= 0 -> ( abs ` ( 1 / ( normop ` T ) ) ) = ( 1 / ( normop ` T ) ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( abs ` ( 1 / ( normop ` T ) ) ) = ( 1 / ( normop ` T ) ) )
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( abs ` ( 1 / ( normop ` T ) ) ) x. ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) x. ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) ) )
61	46, 60	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( ( abs ` ( 1 / ( normop ` T ) ) ) x. ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) ) )
62	42	recclzi 10750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( normop ` T ) =/= 0 -> ( 1 / ( normop ` T ) ) e. CC )
63		norm-iii 27997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / ( normop ` T ) ) e. CC /\ ( ( S o. T ) ` x ) e. ~H ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( ( S o. T ) ` x ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 / ( normop ` T ) ) ) x. ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) ) )
64	62, 38, 63	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( ( S o. T ) ` x ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 / ( normop ` T ) ) ) x. ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) ) )
65	61, 64	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( normh ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( ( S o. T ) ` x ) ) ) )
66	49	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~H -> ( T ` x ) e. ~H )
67	3	lnopmuli 28831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / ( normop ` T ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. ~H ) -> ( S ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( S ` ( T ` x ) ) ) )
68	62, 66, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( S ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( S ` ( T ` x ) ) ) )
69		bdopf 28721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. BndLinOp -> S : ~H --> ~H )
70	1, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S : ~H --> ~H
71	70, 49	hocoi 28623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~H -> ( ( S o. T ) ` x ) = ( S ` ( T ` x ) ) )
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~H -> ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( ( S o. T ) ` x ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( S ` ( T ` x ) ) ) )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( ( S o. T ) ` x ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( S ` ( T ` x ) ) ) )
74	68, 73	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( S ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( ( S o. T ) ` x ) ) )
75	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( S ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) ) = ( normh ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( ( S o. T ) ` x ) ) ) )
76	65, 75	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( normh ` ( S ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) ) )
77	76	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( normh ` ( S ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) ) )
78		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / ( normop ` T ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. ~H ) -> ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) e. ~H )
79	62, 66, 78	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) e. ~H )
80	79	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) e. ~H )
81		norm-iii 27997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / ( normop ` T ) ) e. CC /\ ( T ` x ) e. ~H ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 / ( normop ` T ) ) ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
82	62, 66, 81	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 / ( normop ` T ) ) ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
83		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T ` x ) e. ~H -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
84	66, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
85	84	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. CC )
86		divrec2 10702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) e. CC /\ ( normop ` T ) e. CC /\ ( normop ` T ) =/= 0 ) -> ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
87	42, 86	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) e. CC /\ ( normop ` T ) =/= 0 ) -> ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
88	85, 87	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~H /\ ( normop ` T ) =/= 0 ) -> ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
89	88	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
90	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( abs ` ( 1 / ( normop ` T ) ) ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) = ( ( 1 / ( normop ` T ) ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
91	89, 90	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) = ( ( abs ` ( 1 / ( normop ` T ) ) ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
92	82, 91	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) = ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) )
93	92	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) = ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) )
94		nmoplb 28766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) )
95	49, 94	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) )
96	42	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 x. ( normop ` T ) ) = ( normop ` T )
97	95, 96	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 x. ( normop ` T ) ) )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 x. ( normop ` T ) ) )
99	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~H /\ ( normop ` T ) =/= 0 ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
100		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~H /\ ( normop ` T ) =/= 0 ) -> 1 e. RR )
101	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~H /\ ( normop ` T ) =/= 0 ) -> ( normop ` T ) e. RR )
102	51	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( normop ` T ) =/= 0 -> 0 < ( normop ` T ) )
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~H /\ ( normop ` T ) =/= 0 ) -> 0 < ( normop ` T ) )
104		ledivmul2 10902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( normop ` T ) e. RR /\ 0 < ( normop ` T ) ) ) -> ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) <_ 1 <-> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 x. ( normop ` T ) ) ) )
105	99, 100, 101, 103, 104	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~H /\ ( normop ` T ) =/= 0 ) -> ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) <_ 1 <-> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 x. ( normop ` T ) ) ) )
106	105	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ x e. ~H ) -> ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) <_ 1 <-> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 x. ( normop ` T ) ) ) )
107	106	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) <_ 1 <-> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( 1 x. ( normop ` T ) ) ) )
108	98, 107	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( normh ` ( T ` x ) ) / ( normop ` T ) ) <_ 1 )
109	93, 108	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) <_ 1 )
110		nmoplb 28766	. . . . . . . . 9 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) e. ~H /\ ( normh ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( S ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) ) <_ ( normop ` S ) )
111	70, 110	mp3an1 1411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) e. ~H /\ ( normh ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( S ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) ) <_ ( normop ` S ) )
112	80, 109, 111	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( S ` ( ( 1 / ( normop ` T ) ) .h ( T ` x ) ) ) ) <_ ( normop ` S ) )
113	77, 112	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) / ( normop ` T ) ) <_ ( normop ` S ) )
114	40	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) e. RR )
115	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normop ` S ) e. RR )
116	102	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> 0 < ( normop ` T ) )
117	116, 12	jctil 560	. . . . . . 7 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( normop ` T ) e. RR /\ 0 < ( normop ` T ) ) )
118		ledivmul2 10902	. . . . . . 7 |- ( ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) e. RR /\ ( normop ` S ) e. RR /\ ( ( normop ` T ) e. RR /\ 0 < ( normop ` T ) ) ) -> ( ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) / ( normop ` T ) ) <_ ( normop ` S ) <-> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) ) )
119	114, 115, 117, 118	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) / ( normop ` T ) ) <_ ( normop ` S ) <-> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) ) )
120	113, 119	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` T ) =/= 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) )
121	37, 120	sylanbr 490	. . . 4 |- ( ( -. ( normop ` T ) = 0 /\ ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) )
122	36, 121	pm2.61ian 831	. . 3 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) )
123	122	ex 450	. 2 |- ( x e. ~H -> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( S o. T ) ` x ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) ) ) )
124	16, 123	mprgbir 2927	1 |- ( normop ` ( S o. T ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` T ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   abscabs 13974   ~Hchil 27776   .h csm 27778   normhcno 27780   0hc0v 27781   0hopch0o 27800   normopcnop 27802   LinOpclo 27804   BndLinOpcbo 27805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-0o 27602  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-pjh 28254  df-h0op 28607  df-nmop 28698  df-lnop 28700  df-bdop 28701  df-hmop 28703

This theorem is referenced by:  bdopcoi  28957  unierri  28963