Theorem unierri 28963

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) F, G by other unitary transformations S, T, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	|- F e. UniOp
unierr.2	|- G e. UniOp
unierr.3	|- S e. UniOp
unierr.4	|- T e. UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierri	|- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) )

Proof of Theorem unierri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 |- F e. UniOp
2		unopbd 28874	. . . . . . . 8 |- ( F e. UniOp -> F e. BndLinOp )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- F e. BndLinOp
4		bdopf 28721	. . . . . . 7 |- ( F e. BndLinOp -> F : ~H --> ~H )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- F : ~H --> ~H
6		unierr.2	. . . . . . . 8 |- G e. UniOp
7		unopbd 28874	. . . . . . . 8 |- ( G e. UniOp -> G e. BndLinOp )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- G e. BndLinOp
9		bdopf 28721	. . . . . . 7 |- ( G e. BndLinOp -> G : ~H --> ~H )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- G : ~H --> ~H
11	5, 10	hocofi 28625	. . . . 5 |- ( F o. G ) : ~H --> ~H
12		unierr.3	. . . . . . . 8 |- S e. UniOp
13		unopbd 28874	. . . . . . . 8 |- ( S e. UniOp -> S e. BndLinOp )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- S e. BndLinOp
15		bdopf 28721	. . . . . . 7 |- ( S e. BndLinOp -> S : ~H --> ~H )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- S : ~H --> ~H
17		unierr.4	. . . . . . . 8 |- T e. UniOp
18		unopbd 28874	. . . . . . . 8 |- ( T e. UniOp -> T e. BndLinOp )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- T e. BndLinOp
20		bdopf 28721	. . . . . . 7 |- ( T e. BndLinOp -> T : ~H --> ~H )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 |- T : ~H --> ~H
22	16, 21	hocofi 28625	. . . . 5 |- ( S o. T ) : ~H --> ~H
23	11, 22	hosubcli 28628	. . . 4 |- ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) : ~H --> ~H
24		nmop0h 28850	. . . 4 |- ( ( ~H = 0H /\ ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = 0 )
25	23, 24	mpan2 707	. . 3 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = 0 )
26		0le0 11110	. . . . 5 |- 0 <_ 0
27		00id 10211	. . . . 5 |- ( 0 + 0 ) = 0
28	26, 27	breqtrri 4680	. . . 4 |- 0 <_ ( 0 + 0 )
29	5, 16	hosubcli 28628	. . . . . 6 |- ( F -op S ) : ~H --> ~H
30		nmop0h 28850	. . . . . 6 |- ( ( ~H = 0H /\ ( F -op S ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( F -op S ) ) = 0 )
31	29, 30	mpan2 707	. . . . 5 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( F -op S ) ) = 0 )
32	10, 21	hosubcli 28628	. . . . . 6 |- ( G -op T ) : ~H --> ~H
33		nmop0h 28850	. . . . . 6 |- ( ( ~H = 0H /\ ( G -op T ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( G -op T ) ) = 0 )
34	32, 33	mpan2 707	. . . . 5 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( G -op T ) ) = 0 )
35	31, 34	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ~H = 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( 0 + 0 ) )
36	28, 35	syl5breqr 4691	. . 3 |- ( ~H = 0H -> 0 <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
37	25, 36	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
38	16, 10	hocofi 28625	. . . . . 6 |- ( S o. G ) : ~H --> ~H
39	11, 38, 22	honpncani 28686	. . . . 5 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) )
40	39	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) = ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) )
41	3, 8	bdopcoi 28957	. . . . . . 7 |- ( F o. G ) e. BndLinOp
42	14, 8	bdopcoi 28957	. . . . . . 7 |- ( S o. G ) e. BndLinOp
43	41, 42	bdophdi 28956	. . . . . 6 |- ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) e. BndLinOp
44	14, 19	bdopcoi 28957	. . . . . . 7 |- ( S o. T ) e. BndLinOp
45	42, 44	bdophdi 28956	. . . . . 6 |- ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) e. BndLinOp
46	43, 45	nmoptrii 28953	. . . . 5 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) )
47	5, 16, 10	hocsubdiri 28639	. . . . . . . 8 |- ( ( F -op S ) o. G ) = ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) )
48	47	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F -op S ) o. G ) ) = ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) )
49	3, 14	bdophdi 28956	. . . . . . . 8 |- ( F -op S ) e. BndLinOp
50	49, 8	nmopcoi 28954	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F -op S ) o. G ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) )
51	48, 50	eqbrtrri 4676	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) )
52		bdopln 28720	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. BndLinOp -> S e. LinOp )
53	14, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- S e. LinOp
54	53, 10, 21	hoddii 28848	. . . . . . . 8 |- ( S o. ( G -op T ) ) = ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) )
55	54	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( S o. ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) )
56	8, 19	bdophdi 28956	. . . . . . . 8 |- ( G -op T ) e. BndLinOp
57	14, 56	nmopcoi 28954	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( S o. ( G -op T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) )
58	55, 57	eqbrtrri 4676	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) )
59		nmopre 28729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) e. RR )
60	43, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) e. RR
61		nmopre 28729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. RR )
62	45, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. RR
63		nmopre 28729	. . . . . . . . 9 |- ( ( F -op S ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( F -op S ) ) e. RR )
64	49, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` ( F -op S ) ) e. RR
65		nmopre 28729	. . . . . . . . 9 |- ( G e. BndLinOp -> ( normop ` G ) e. RR )
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` G ) e. RR
67	64, 66	remulcli 10054	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) e. RR
68		nmopre 28729	. . . . . . . . 9 |- ( S e. BndLinOp -> ( normop ` S ) e. RR )
69	14, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` S ) e. RR
70		nmopre 28729	. . . . . . . . 9 |- ( ( G -op T ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( G -op T ) ) e. RR )
71	56, 70	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` ( G -op T ) ) e. RR
72	69, 71	remulcli 10054	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) e. RR
73	60, 62, 67, 72	le2addi 10591	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) /\ ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) -> ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) )
74	51, 58, 73	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
75	43, 45	bdophsi 28955	. . . . . . 7 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. BndLinOp
76		nmopre 28729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR )
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR
78	60, 62	readdcli 10053	. . . . . 6 |- ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR
79	67, 72	readdcli 10053	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) e. RR
80	77, 78, 79	letri 10166	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) /\ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) ) -> ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) )
81	46, 74, 80	mp2an 708	. . . 4 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
82	40, 81	eqbrtrri 4676	. . 3 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
83		nmopun 28873	. . . . . . 7 |- ( ( ~H =/= 0H /\ G e. UniOp ) -> ( normop ` G ) = 1 )
84	6, 83	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` G ) = 1 )
85	84	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) = ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. 1 ) )
86	64	recni 10052	. . . . . 6 |- ( normop ` ( F -op S ) ) e. CC
87	86	mulid1i 10042	. . . . 5 |- ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. 1 ) = ( normop ` ( F -op S ) )
88	85, 87	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) = ( normop ` ( F -op S ) ) )
89		nmopun 28873	. . . . . . 7 |- ( ( ~H =/= 0H /\ S e. UniOp ) -> ( normop ` S ) = 1 )
90	12, 89	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` S ) = 1 )
91	90	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( 1 x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
92	71	recni 10052	. . . . . 6 |- ( normop ` ( G -op T ) ) e. CC
93	92	mulid2i 10043	. . . . 5 |- ( 1 x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( G -op T ) )
94	91, 93	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( G -op T ) ) )
95	88, 94	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) = ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
96	82, 95	syl5breq 4690	. 2 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
97	37, 96	pm2.61ine 2877	1 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   ~Hchil 27776   0Hc0h 27792   +op chos 27795   -op chod 27797   normopcnop 27802   LinOpclo 27804   BndLinOpcbo 27805   UniOpcuo 27806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-0o 27602  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-pjh 28254  df-hosum 28589  df-homul 28590  df-hodif 28591  df-h0op 28607  df-nmop 28698  df-lnop 28700  df-bdop 28701  df-unop 28702  df-hmop 28703

This theorem is referenced by: (None)