Theorem nn0seqcvgd 15283

Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term N reaches zero by the N th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0seqcvgd.1	|- ( ph -> F : NN0 --> NN0 )
nn0seqcvgd.2	|- ( ph -> N = ( F ` 0 ) )
nn0seqcvgd.3	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nn0seqcvgd	|- ( ph -> ( F ` N ) = 0 )

Distinct variable groups:   k, F   k, N   ph, k

Proof of Theorem nn0seqcvgd

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0seqcvgd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> N = ( F ` 0 ) )
2		nn0seqcvgd.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN0 --> NN0 )
3		0nn0 11307	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
4		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN0 --> NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. NN0 )
5	2, 3, 4	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. NN0 )
6	1, 5	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
7	6	nn0red 11352	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR )
8	7	leidd 10594	. . . . 5 |- ( ph -> N <_ N )
9		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( F ` m ) = ( F ` 0 ) )
10		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( N - m ) = ( N - 0 ) )
11	9, 10	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) )
12	11	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
14		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( N - m ) = ( N - k ) )
15	13, 14	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) ) )
17		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
18		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( N - m ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
19	17, 18	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
20	19	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( F ` m ) = ( F ` N ) )
22		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( N - m ) = ( N - N ) )
23	21, 22	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( F ` m ) <_ ( N - m ) <-> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
24	23	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( ( ph -> ( F ` m ) <_ ( N - m ) ) <-> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) ) )
25	1, 8	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ N )
26	7	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. CC )
27	26	subid1d 10381	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 0 ) = N )
28	25, 27	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) )
29	28	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ph -> ( F ` 0 ) <_ ( N - 0 ) ) )
30		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
31		posdif 10521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
32	30, 7, 31	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( k < N <-> 0 < ( N - k ) ) )
34		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> 0 < ( N - k ) ) )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> 0 < ( N - k ) ) )
36		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
37		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : NN0 --> NN0 /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
38	2, 36, 37	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
39	38	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
40	6	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. ZZ )
41		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
42		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N - k ) e. ZZ )
43	40, 41, 42	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N - k ) e. ZZ )
44		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( N - k ) e. ZZ ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) ) )
45	39, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) ) )
46		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
47		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
48		subsub4 10314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
49	47, 48	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
50	26, 46, 49	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( N - k ) - 1 ) = ( N - ( k + 1 ) ) )
51	50	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( N - k ) - 1 ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
52	45, 51	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
54	33, 35, 53	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( k < N <-> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
55	54	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) /\ k < N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) )
56	55	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) )
57	56	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = 0 ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
58		nn0seqcvgd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) ) )
59	38	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
60	2	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. NN0 )
61	60	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR )
62	43	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N - k ) e. RR )
63		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( F ` k ) e. RR /\ ( N - k ) e. RR ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) ) )
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( N - k ) ) )
65	64, 52	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
66	58, 65	syland 498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 /\ ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
68	67	expdimp 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
69	57, 68	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k < N ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
70	69	anasss 679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ k < N ) ) -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) )
71	70	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ph -> ( ( F ` k ) <_ ( N - k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
72	71	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
73	72	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 /\ k < N ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) <_ ( N - k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( N - ( k + 1 ) ) ) ) )
74	12, 16, 20, 24, 29, 73	fnn0ind 11476	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. NN0 /\ N <_ N ) -> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
75	6, 6, 8, 74	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) ) )
76	75	pm2.43i 52	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( N - N ) )
77	26	subidd 10380	. . 3 |- ( ph -> ( N - N ) = 0 )
78	76, 77	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ 0 )
79	2, 6	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) e. NN0 )
80	79	nn0ge0d 11354	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` N ) )
81	79	nn0red 11352	. . 3 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
82		0re 10040	. . 3 |- 0 e. RR
83		letri3 10123	. . 3 |- ( ( ( F ` N ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( F ` N ) = 0 <-> ( ( F ` N ) <_ 0 /\ 0 <_ ( F ` N ) ) ) )
84	81, 82, 83	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) = 0 <-> ( ( F ` N ) <_ 0 /\ 0 <_ ( F ` N ) ) ) )
85	78, 80, 84	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( F ` N ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  algcvg  15289  nn0seqcvg  31570