Theorem nnfoctbdjlem 40672

Description: There exists a mapping from NN onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnfoctbdjlem.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nnfoctbdjlem.g	|- ( ph -> G : A -1-1-onto-> X )
nnfoctbdjlem.dj	|- ( ph -> Disj y e. X y )
nnfoctbdjlem.f	|- F = ( n e. NN |-> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nnfoctbdjlem	|- ( ph -> E. f ( f : NN -onto-> ( X u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( f ` n ) ) )

Distinct variable groups:   A, n, y   f, F, n   y, F   n, G, y   f, X, n   y, X   ph, n, y

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   G( f)

Proof of Theorem nnfoctbdjlem

Dummy variables x k m z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = (/) )
2	1	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = (/) )
3		0ex 4790	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
4	3	snid 4208	. . . . . . . 8 |- (/) e. { (/) }
5		elun2 3781	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. { (/) } -> (/) e. ( X u. { (/) } ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (/) e. ( X u. { (/) } )
7	2, 6	syl6eqel 2709	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) e. ( X u. { (/) } ) )
8	7	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) e. ( X u. { (/) } ) )
9		iffalse 4095	. . . . . . 7 |- ( -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = ( G ` ( n - 1 ) ) )
10	9	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = ( G ` ( n - 1 ) ) )
11		nnfoctbdjlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : A -1-1-onto-> X )
12		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : A -1-1-onto-> X -> G : A --> X )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : A --> X )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> G : A --> X )
15		pm2.46 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) -> -. -. ( n - 1 ) e. A )
16	15	notnotrd 128	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) -> ( n - 1 ) e. A )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( n - 1 ) e. A )
18	14, 17	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( G ` ( n - 1 ) ) e. X )
19	18	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( G ` ( n - 1 ) ) e. X )
20		elun1 3780	. . . . . . 7 |- ( ( G ` ( n - 1 ) ) e. X -> ( G ` ( n - 1 ) ) e. ( X u. { (/) } ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( G ` ( n - 1 ) ) e. ( X u. { (/) } ) )
22	10, 21	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) e. ( X u. { (/) } ) )
23	8, 22	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) e. ( X u. { (/) } ) )
24		nnfoctbdjlem.f	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) )
25	23, 24	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> ( X u. { (/) } ) )
26		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> y e. X )
27		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : A -1-1-onto-> X -> G : A -onto-> X )
28		forn 6118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : A -onto-> X -> ran G = X )
29	11, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran G = X )
30	29	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X = ran G )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> X = ran G )
32	26, 31	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> y e. ran G )
33	13	ffnd 6046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G Fn A )
34		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . 11 |- ( G Fn A -> ( y e. ran G <-> E. k e. A ( G ` k ) = y ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ran G <-> E. k e. A ( G ` k ) = y ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( y e. ran G <-> E. k e. A ( G ` k ) = y ) )
37	32, 36	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> E. k e. A ( G ` k ) = y )
38		nnfoctbdjlem.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ NN )
39	38	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. NN )
40	39	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( k + 1 ) e. NN )
41	40	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A /\ ( G ` k ) = y ) -> ( k + 1 ) e. NN )
42	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> F = ( n e. NN |-> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) ) )
43		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> 1 e. RR )
44		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 1 e. RR )
45	39	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. RR+ )
46	44, 45	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 1 < ( k + 1 ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> 1 < ( k + 1 ) )
48		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
49	48	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( k + 1 ) = n )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) = n )
51	47, 50	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> 1 < n )
52	43, 51	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> n =/= 1 )
53	52	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> -. n = 1 )
54		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
55	39	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. CC )
56		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 1 e. CC )
57	55, 56	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
58	54, 57	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> ( n - 1 ) = k )
59		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> k e. A )
60	58, 59	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> ( n - 1 ) e. A )
61	60	notnotd 138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> -. -. ( n - 1 ) e. A )
62		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) <-> ( -. n = 1 /\ -. -. ( n - 1 ) e. A ) )
63	53, 61, 62	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) )
64	63	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = ( G ` ( n - 1 ) ) )
65	58	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> ( G ` ( n - 1 ) ) = ( G ` k ) )
66	64, 65	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = ( G ` k ) )
67	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( G ` k ) e. X )
68	42, 66, 40, 67	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( G ` k ) )
69	68	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A /\ ( G ` k ) = y ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( G ` k ) )
70		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A /\ ( G ` k ) = y ) -> ( G ` k ) = y )
71	69, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A /\ ( G ` k ) = y ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = y )
72		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
73	72	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( F ` m ) = y <-> ( F ` ( k + 1 ) ) = y ) )
74	73	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ ( F ` ( k + 1 ) ) = y ) -> E. m e. NN ( F ` m ) = y )
75	41, 71, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A /\ ( G ` k ) = y ) -> E. m e. NN ( F ` m ) = y )
76	75	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> ( ( G ` k ) = y -> E. m e. NN ( F ` m ) = y ) ) )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( k e. A -> ( ( G ` k ) = y -> E. m e. NN ( F ` m ) = y ) ) )
78	77	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( E. k e. A ( G ` k ) = y -> E. m e. NN ( F ` m ) = y ) )
79	37, 78	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> E. m e. NN ( F ` m ) = y )
80		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` m ) = y -> ( F ` m ) = y )
81	80	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` m ) = y -> y = ( F ` m ) )
82	81	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ m e. NN ) -> ( ( F ` m ) = y -> y = ( F ` m ) ) )
83	82	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( E. m e. NN ( F ` m ) = y -> E. m e. NN y = ( F ` m ) ) )
84	79, 83	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> E. m e. NN y = ( F ` m ) )
85	84	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X u. { (/) } ) ) /\ y e. X ) -> E. m e. NN y = ( F ` m ) )
86		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X u. { (/) } ) ) /\ -. y e. X ) -> ph )
87		elunnel1 3754	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( X u. { (/) } ) /\ -. y e. X ) -> y e. { (/) } )
88		elsni 4194	. . . . . . . 8 |- ( y e. { (/) } -> y = (/) )
89	87, 88	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( X u. { (/) } ) /\ -. y e. X ) -> y = (/) )
90	89	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X u. { (/) } ) ) /\ -. y e. X ) -> y = (/) )
91		1nn 11031	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> 1 e. NN )
93	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F = ( n e. NN |-> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) ) )
94	1	orcs 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = (/) )
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n = 1 ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = (/) )
96	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. NN )
97	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (/) e. _V )
98	93, 95, 96, 97	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = (/) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( F ` 1 ) = (/) )
100		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> y = (/) )
101	100	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> (/) = y )
102	101	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> (/) = y )
103	99, 102	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> y = ( F ` 1 ) )
104		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = 1 -> ( F ` m ) = ( F ` 1 ) )
105	104	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( y = ( F ` m ) <-> y = ( F ` 1 ) ) )
106	105	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ y = ( F ` 1 ) ) -> E. m e. NN y = ( F ` m ) )
107	92, 103, 106	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> E. m e. NN y = ( F ` m ) )
108	86, 90, 107	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X u. { (/) } ) ) /\ -. y e. X ) -> E. m e. NN y = ( F ` m ) )
109	85, 108	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( X u. { (/) } ) ) -> E. m e. NN y = ( F ` m ) )
110	109	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ( X u. { (/) } ) E. m e. NN y = ( F ` m ) )
111		dffo3 6374	. . 3 |- ( F : NN -onto-> ( X u. { (/) } ) <-> ( F : NN --> ( X u. { (/) } ) /\ A. y e. ( X u. { (/) } ) E. m e. NN y = ( F ` m ) ) )
112	25, 110, 111	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> F : NN -onto-> ( X u. { (/) } ) )
113		animorrl 508	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n = m ) -> ( n = m \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) ) )
114	2, 3	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) e. _V )
115	24	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) e. _V ) -> ( F ` n ) = if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) )
116	114, 115	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( F ` n ) = if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) )
117	116, 2	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( F ` n ) = (/) )
118	117	ineq1d 3813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = ( (/) i^i ( F ` m ) ) )
119		0in 3969	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) i^i ( F ` m ) ) = (/)
120	118, 119	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) )
121	120	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN /\ m e. NN ) /\ ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) )
122	121	ad4ant24 1298	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) )
123	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. NN /\ ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> F = ( n e. NN |-> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) ) )
124		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( n = 1 <-> m = 1 ) )
125		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( n - 1 ) = ( m - 1 ) )
126	125	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( ( n - 1 ) e. A <-> ( m - 1 ) e. A ) )
127	126	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( -. ( n - 1 ) e. A <-> -. ( m - 1 ) e. A ) )
128	124, 127	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) <-> ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) )
129	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( G ` ( n - 1 ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) )
130	128, 129	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = if ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( m - 1 ) ) ) )
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN /\ ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) /\ n = m ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = if ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( m - 1 ) ) ) )
132		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. NN /\ ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> m e. NN )
133		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) -> if ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( m - 1 ) ) ) = (/) )
134	133, 3	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) -> if ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( m - 1 ) ) ) e. _V )
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. NN /\ ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> if ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( m - 1 ) ) ) e. _V )
136	123, 131, 132, 135	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( F ` m ) = if ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( m - 1 ) ) ) )
137	133	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> if ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( m - 1 ) ) ) = (/) )
138	136, 137	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. NN /\ ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( F ` m ) = (/) )
139	138	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = ( ( F ` n ) i^i (/) ) )
140		in0 3968	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` n ) i^i (/) ) = (/)
141	139, 140	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) )
142	141	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ m e. NN ) /\ ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) )
143	142	ad5ant25 1306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) )
144		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G ` ( n - 1 ) ) e. _V
145	3, 144	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) e. _V
146	145, 115	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( F ` n ) = if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) )
147	146, 9	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( F ` n ) = ( G ` ( n - 1 ) ) )
148	147	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ m e. NN ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( F ` n ) = ( G ` ( n - 1 ) ) )
149	148	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ m e. NN ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( F ` n ) = ( G ` ( n - 1 ) ) )
150	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. NN /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> F = ( n e. NN |-> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) ) )
151	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) /\ n = m ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = if ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( m - 1 ) ) ) )
152		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) -> if ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( m - 1 ) ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) )
153	152	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) /\ n = m ) -> if ( ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( m - 1 ) ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) )
154	151, 153	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) /\ n = m ) -> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) )
155		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. NN /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> m e. NN )
156		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. NN /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( G ` ( m - 1 ) ) e. _V )
157	150, 154, 155, 156	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( F ` m ) = ( G ` ( m - 1 ) ) )
158	157	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ m e. NN ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( F ` m ) = ( G ` ( m - 1 ) ) )
159	158	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ m e. NN ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( F ` m ) = ( G ` ( m - 1 ) ) )
160	149, 159	ineq12d 3815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ m e. NN ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i ( G ` ( m - 1 ) ) ) )
161	160	ad5ant245 1307	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i ( G ` ( m - 1 ) ) ) )
162	16	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( n - 1 ) e. A )
163		pm2.46 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) -> -. -. ( m - 1 ) e. A )
164	163	notnotrd 128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) -> ( m - 1 ) e. A )
165	164	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( m - 1 ) e. A )
166		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G : A -1-1-onto-> X -> G : A -1-1-> X )
167	11, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> G : A -1-1-> X )
168		dff14a 6527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G : A -1-1-> X <-> ( G : A --> X /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) )
169	167, 168	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( G : A --> X /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) )
170	169	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) )
171	170	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) )
172	171	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) )
173	162, 165, 172	jca31 557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( ( ( n - 1 ) e. A /\ ( m - 1 ) e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) )
174		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. CC )
175	174	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN ) -> n e. CC )
176	175	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) -> n e. CC )
177		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. CC )
178	177	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN ) -> m e. CC )
179	178	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) -> m e. CC )
180		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) -> 1 e. CC )
181		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) -> n =/= m )
182	176, 179, 180, 181	subneintr2d 10438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) -> ( n - 1 ) =/= ( m - 1 ) )
183	182	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( n - 1 ) =/= ( m - 1 ) )
184		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( n - 1 ) -> ( x =/= y <-> ( n - 1 ) =/= y ) )
185		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n - 1 ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( n - 1 ) ) )
186	185	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( n - 1 ) -> ( ( G ` x ) =/= ( G ` y ) <-> ( G ` ( n - 1 ) ) =/= ( G ` y ) ) )
187	184, 186	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( n - 1 ) -> ( ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) <-> ( ( n - 1 ) =/= y -> ( G ` ( n - 1 ) ) =/= ( G ` y ) ) ) )
188		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( m - 1 ) -> ( ( n - 1 ) =/= y <-> ( n - 1 ) =/= ( m - 1 ) ) )
189		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( m - 1 ) -> ( G ` y ) = ( G ` ( m - 1 ) ) )
190	189	neeq2d 2854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( m - 1 ) -> ( ( G ` ( n - 1 ) ) =/= ( G ` y ) <-> ( G ` ( n - 1 ) ) =/= ( G ` ( m - 1 ) ) ) )
191	188, 190	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( m - 1 ) -> ( ( ( n - 1 ) =/= y -> ( G ` ( n - 1 ) ) =/= ( G ` y ) ) <-> ( ( n - 1 ) =/= ( m - 1 ) -> ( G ` ( n - 1 ) ) =/= ( G ` ( m - 1 ) ) ) ) )
192	187, 191	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( n - 1 ) e. A /\ ( m - 1 ) e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) -> ( ( n - 1 ) =/= ( m - 1 ) -> ( G ` ( n - 1 ) ) =/= ( G ` ( m - 1 ) ) ) )
193	173, 183, 192	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( G ` ( n - 1 ) ) =/= ( G ` ( m - 1 ) ) )
194	193	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> -. ( G ` ( n - 1 ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) )
195	18	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( G ` ( n - 1 ) ) e. X )
196	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m - 1 ) e. A ) -> ( G ` ( m - 1 ) ) e. X )
197	164, 196	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( G ` ( m - 1 ) ) e. X )
198	197	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( G ` ( m - 1 ) ) e. X )
199		nnfoctbdjlem.dj	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Disj y e. X y )
200		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> y = z )
201	200	disjor 4634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Disj y e. X y <-> A. y e. X A. z e. X ( y = z \/ ( y i^i z ) = (/) ) )
202	199, 201	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. y e. X A. z e. X ( y = z \/ ( y i^i z ) = (/) ) )
203	202	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> A. y e. X A. z e. X ( y = z \/ ( y i^i z ) = (/) ) )
204		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( G ` ( n - 1 ) ) -> ( y = z <-> ( G ` ( n - 1 ) ) = z ) )
205		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( G ` ( n - 1 ) ) -> ( y i^i z ) = ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i z ) )
206	205	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( G ` ( n - 1 ) ) -> ( ( y i^i z ) = (/) <-> ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i z ) = (/) ) )
207	204, 206	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` ( n - 1 ) ) -> ( ( y = z \/ ( y i^i z ) = (/) ) <-> ( ( G ` ( n - 1 ) ) = z \/ ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i z ) = (/) ) ) )
208		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( G ` ( m - 1 ) ) -> ( ( G ` ( n - 1 ) ) = z <-> ( G ` ( n - 1 ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) ) )
209		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( G ` ( m - 1 ) ) -> ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i z ) = ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i ( G ` ( m - 1 ) ) ) )
210	209	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( G ` ( m - 1 ) ) -> ( ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i z ) = (/) <-> ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i ( G ` ( m - 1 ) ) ) = (/) ) )
211	208, 210	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( G ` ( m - 1 ) ) -> ( ( ( G ` ( n - 1 ) ) = z \/ ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i z ) = (/) ) <-> ( ( G ` ( n - 1 ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) \/ ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i ( G ` ( m - 1 ) ) ) = (/) ) ) )
212	207, 211	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G ` ( n - 1 ) ) e. X /\ ( G ` ( m - 1 ) ) e. X ) /\ A. y e. X A. z e. X ( y = z \/ ( y i^i z ) = (/) ) ) -> ( ( G ` ( n - 1 ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) \/ ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i ( G ` ( m - 1 ) ) ) = (/) ) )
213	195, 198, 203, 212	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( ( G ` ( n - 1 ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) \/ ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i ( G ` ( m - 1 ) ) ) = (/) ) )
214	213	adantllr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( ( G ` ( n - 1 ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) \/ ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i ( G ` ( m - 1 ) ) ) = (/) ) )
215		orel1 397	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( G ` ( n - 1 ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) -> ( ( ( G ` ( n - 1 ) ) = ( G ` ( m - 1 ) ) \/ ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i ( G ` ( m - 1 ) ) ) = (/) ) -> ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i ( G ` ( m - 1 ) ) ) = (/) ) )
216	194, 214, 215	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( ( G ` ( n - 1 ) ) i^i ( G ` ( m - 1 ) ) ) = (/) )
217	161, 216	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) /\ -. ( m = 1 \/ -. ( m - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) )
218	143, 217	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) /\ -. ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) )
219	122, 218	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) )
220	219	olcd 408	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) /\ n =/= m ) -> ( n = m \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) ) )
221	113, 220	pm2.61dane 2881	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ m e. NN ) ) -> ( n = m \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) ) )
222	221	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN A. m e. NN ( n = m \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) ) )
223		fveq2 6191	. . . 4 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
224	223	disjor 4634	. . 3 |- (Disj n e. NN ( F ` n ) <-> A. n e. NN A. m e. NN ( n = m \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` m ) ) = (/) ) )
225	222, 224	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> Disj n e. NN ( F ` n ) )
226		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
227	226	mptex 6486	. . . 4 |- ( n e. NN |-> if ( ( n = 1 \/ -. ( n - 1 ) e. A ) , (/) , ( G ` ( n - 1 ) ) ) ) e. _V
228	24, 227	eqeltri 2697	. . 3 |- F e. _V
229		foeq1 6111	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : NN -onto-> ( X u. { (/) } ) <-> F : NN -onto-> ( X u. { (/) } ) ) )
230		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ n e. NN ) -> f = F )
231	230	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( ( f = F /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) = ( F ` n ) )
232	231	disjeq2dv 4625	. . . 4 |- ( f = F -> (Disj n e. NN ( f ` n ) <-> Disj n e. NN ( F ` n ) ) )
233	229, 232	anbi12d 747	. . 3 |- ( f = F -> ( ( f : NN -onto-> ( X u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( f ` n ) ) <-> ( F : NN -onto-> ( X u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( F ` n ) ) ) )
234	228, 233	spcev 3300	. 2 |- ( ( F : NN -onto-> ( X u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( F ` n ) ) -> E. f ( f : NN -onto-> ( X u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( f ` n ) ) )
235	112, 225, 234	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. f ( f : NN -onto-> ( X u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( f ` n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  nnfoctbdj  40673