Theorem nrmtngnrm 22462

Description: The augmentation of a normed group by its own norm is a normed group with the same norm. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nrmtngdist.t	|- T = ( G toNrmGrp ( norm ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
nrmtngnrm	|- ( G e. NrmGrp -> ( T e. NrmGrp /\ ( norm ` T ) = ( norm ` G ) ) )

Proof of Theorem nrmtngnrm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 22403	. . 3 |- ( G e. NrmGrp -> G e. Grp )
2		nrmtngdist.t	. . . . 5 |- T = ( G toNrmGrp ( norm ` G ) )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4	2, 3	nrmtngdist 22461	. . . 4 |- ( G e. NrmGrp -> ( dist ` T ) = ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( norm ` G ) = ( norm ` G )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) = ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) )
9	5, 6, 7, 3, 8	isngp2 22401	. . . . 5 |- ( G e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ G e. MetSp /\ ( ( norm ` G ) o. ( -g ` G ) ) = ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) )
10	3, 8	msmet 22262	. . . . . 6 |- ( G e. MetSp -> ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) e. ( Met ` ( Base ` G ) ) )
11	10	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ G e. MetSp /\ ( ( norm ` G ) o. ( -g ` G ) ) = ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) -> ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) e. ( Met ` ( Base ` G ) ) )
12	9, 11	sylbi 207	. . . 4 |- ( G e. NrmGrp -> ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) e. ( Met ` ( Base ` G ) ) )
13	4, 12	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( G e. NrmGrp -> ( dist ` T ) e. ( Met ` ( Base ` G ) ) )
14	3, 5	nmf 22419	. . . 4 |- ( G e. NrmGrp -> ( norm ` G ) : ( Base ` G ) --> RR )
15		eqid 2622	. . . . 5 |- ( dist ` T ) = ( dist ` T )
16	2, 3, 15	tngngp2 22456	. . . 4 |- ( ( norm ` G ) : ( Base ` G ) --> RR -> ( T e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ ( dist ` T ) e. ( Met ` ( Base ` G ) ) ) ) )
17	14, 16	syl 17	. . 3 |- ( G e. NrmGrp -> ( T e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ ( dist ` T ) e. ( Met ` ( Base ` G ) ) ) ) )
18	1, 13, 17	mpbir2and 957	. 2 |- ( G e. NrmGrp -> T e. NrmGrp )
19	1, 14	jca 554	. . . 4 |- ( G e. NrmGrp -> ( G e. Grp /\ ( norm ` G ) : ( Base ` G ) --> RR ) )
20		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
21	2, 3, 20	tngnm 22455	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( norm ` G ) : ( Base ` G ) --> RR ) -> ( norm ` G ) = ( norm ` T ) )
22	19, 21	syl 17	. . 3 |- ( G e. NrmGrp -> ( norm ` G ) = ( norm ` T ) )
23	22	eqcomd 2628	. 2 |- ( G e. NrmGrp -> ( norm ` T ) = ( norm ` G ) )
24	18, 23	jca 554	1 |- ( G e. NrmGrp -> ( T e. NrmGrp /\ ( norm ` T ) = ( norm ` G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   Basecbs 15857   distcds 15950   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   Metcme 19732   MetSpcmt 22123   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   toNrmGrp ctng 22383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389

This theorem is referenced by:  tngngpim  22463