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Theorem pntrsumo1 25254

Description: A bound on a sum over

. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pntrval.r	ψ

**Assertion**
Ref	Expression
pntrsumo1

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem pntrsumo1 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . . . . . . . . 11
2		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . 11 $/\$
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 $/\$
4	3	simplbi 476	. . . . . . . . 9
5		0red 10041	. . . . . . . . . 10
6		1red 10055	. . . . . . . . . 10
7		0lt1 10550	. . . . . . . . . . 11
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10
9	3	simprbi 480	. . . . . . . . . 10
10	5, 6, 4, 8, 9	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9
11	4, 10	elrpd 11869	. . . . . . . 8
12	11	ssriv 3607	. . . . . . 7
13	12	a1i 11	. . . . . 6
14		rpssre 11843	. . . . . 6
15	13, 14	syl6ss 3615	. . . . 5
16	15	resmptd 5452	. . . 4
17		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
18		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ψ ψ
20	19, 18	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ψ ψ
21	17, 20	jca 554	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ ψ
22		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
23		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ψ ψ
25	24, 23	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ψ ψ
26	22, 25	jca 554	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ ψ
27		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
28		1div1e1 10717	. . . . . . . . . . . . 13
29	27, 28	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12
30		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
31		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	30, 31	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33	32	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ψ ψ
34		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36		chpeq0 24933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ψ
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ψ
38	34, 37	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ψ
39	33, 38	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ψ
40	39, 32	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ψ
41		0m0e0 11130	. . . . . . . . . . . . 13
42	40, 41	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ψ
43	29, 42	jca 554	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ
44		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
45		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
46	45	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ψ ψ
47	46, 45	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ψ ψ
48	44, 47	jca 554	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ ψ
49	11	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
50		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
52		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . 13
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
54		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . 12
55	53, 54	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11
56		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
58	57	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
59	58	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$
60	57	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
61		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
63		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . . . 14 ψ
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ψ
65	64, 62	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ
66	65	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ
67	21, 26, 43, 48, 55, 59, 66	fsumparts 14538	. . . . . . . . . 10 ..^ ψ ψ ψ ..^ ψ
68	4	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . 13
69		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . 13 ..^
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ..^
71	70	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ..^
72		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
74	73	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
75		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
77	74, 75, 76	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
78	73	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
79	77, 78	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
80		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ψ
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ψ
82	81	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ψ
83	79	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
84		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	78, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
86		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ψ
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ψ
88	87	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ψ
89		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
90	74, 89	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
91	82, 83, 88, 90	sub4d 10441	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ψ ψ ψ ψ
92		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
93	73, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
94		chpp1 24881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ψ ψ Λ
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ψ ψ Λ
96		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
97	74, 75, 96	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
98	97, 77	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ψ ψ
100	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ Λ Λ
101	100	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ψ Λ ψ Λ
102	95, 99, 101	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ψ ψ Λ
103	102	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ψ ψ ψ Λ ψ
104		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Λ
105	73, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ Λ
106	105	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ Λ
107	88, 106	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ψ Λ ψ Λ
108	103, 107	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ψ ψ Λ
109		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	74, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
111	110, 74, 89	nnncan2d 10427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
112		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
113	74, 75, 112	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
114	111, 113	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	108, 114	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ψ ψ Λ
116	91, 115	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ψ ψ Λ
117	116	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ ψ Λ
118		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . 15 Λ Λ
119	105, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Λ
120	119	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ
121	73	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
122	120, 74, 121	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ Λ
123	117, 122	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ ψ Λ
124	71, 123	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . . . 10 ..^ ψ ψ Λ
125	51	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
126		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
127	125, 75, 126	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128	127	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ψ ψ
129		chpfl 24876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ψ ψ
130	4, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ψ ψ
131	128, 130	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ψ ψ
132	131	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ψ ψ
133		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ψ
134	4, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ψ
135	134	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ψ
136	53	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
137		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
138	135, 136, 137	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ψ ψ
139	132, 138	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ψ ψ
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ψ ψ
141	53	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . . 16
142	141	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15
143		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ψ ψ
144	135, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ψ
145	142, 144, 136	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . 14 ψ ψ
146	53	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
147	144, 136, 146	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ψ ψ
148	147	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ψ ψ
149	136, 146	recid2d 10797	. . . . . . . . . . . . . . 15
150	148, 149	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ψ ψ
151	140, 145, 150	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ψ ψ
152	75	mul01i 10226	. . . . . . . . . . . . . 14
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
154	151, 153	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ψ ψ
155		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ψ ψ
156	134, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ψ
157	156, 53	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ψ
158	157	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ψ
159		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 ψ $/\$ ψ
160	158, 75, 159	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 ψ
161	160	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . 12 ψ ψ
162	154, 161	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ψ ψ
163		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
164		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
165	163, 164	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166	73, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
167	166	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
168	167	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
169		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
170		pntrval.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ψ
171	170	pntrf 25252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
172	171	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
173	169, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
174	73, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
175	174	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
176	168, 175	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
177	74, 89	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
178	74, 110	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
179	166	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
180	110, 177, 178, 179	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
181	74	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
182	181	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
183	182, 113	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
184	183	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
185	110	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
186	110, 74	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
187	185, 186	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
188	73, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
189	188	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
190	89, 74, 110, 121, 189	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
191	187, 190	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
192	89, 110, 74, 189, 121	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
193	191, 192	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
194	180, 184, 193	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
195	194	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
196	73	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
197	196	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
198	188	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
199	198	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
200	197, 199	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
201	195, 200	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
202	73	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
203	77, 202	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
204	170	pntrval 25251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ψ
205	203, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ψ
206	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
207	205, 206	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ψ
208	201, 207	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ψ
209	175, 178, 179	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
210	209	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
211	176, 208, 210	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ψ
212	71, 211	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ψ
213		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13
214	173, 165	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . 15
215	73, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
216	215	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
217	213, 216	fsumneg 14519	. . . . . . . . . . . 12
218	212, 217	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ..^ ψ
219	162, 218	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ψ ..^ ψ ψ
220	67, 124, 219	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 Λ ψ
221		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13
222	72	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
223	222, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
224	221, 223	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12
225	224	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11
226	4, 225	syl 17	. . . . . . . . . 10
227	160, 226	subnegd 10399	. . . . . . . . 9 ψ ψ
228	220, 227	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 Λ ψ
229	228	oveq1d 6665	. . . . . . 7 Λ ψ ψ ψ
230	160, 226	pncan2d 10394	. . . . . . 7 ψ ψ
231	229, 230	eqtrd 2656	. . . . . 6 Λ ψ
232	231	mpteq2ia 4740	. . . . 5 Λ ψ
233		fzfid 12772	. . . . . . . 8 $/\$
234	72	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
235	234, 104	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Λ
236	235, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Λ
237	236, 234	nndivred 11069	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Λ
238	233, 237	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 $/\$ Λ
239		rpre 11839	. . . . . . . . . . . 12
240	239	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
241	240, 133	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ
242	241, 155	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ ψ
243		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
244	243, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11
245	244	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
246	245, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
247	242, 246	nndivred 11069	. . . . . . . 8 $/\$ ψ
248		peano2rem 10348	. . . . . . . 8 ψ ψ
249	247, 248	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ ψ
250		reex 10027	. . . . . . . . . . . 12
251	250, 14	ssexi 4803	. . . . . . . . . . 11
252	251	a1i 11	. . . . . . . . . 10
253	235, 234	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ
254	253	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ
255	233, 254	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ
256		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . 13
257	256	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
258	257	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$
259	255, 258	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ
260	234	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
261	233, 260	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 $/\$
262	261, 257	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 $/\$
263		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 Λ Λ
264		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10
265	252, 259, 262, 263, 264	offval2 6914	. . . . . . . . 9 Λ Λ
266	260	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
267	233, 254, 266	fsumsub 14520	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ
268	235	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ
269		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
270	234	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
271	234	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
272	268, 269, 270, 271	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ Λ
273	272	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ
274	261	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
275	255, 274, 258	nnncan2d 10427	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ
276	267, 273, 275	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ
277	276	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 Λ Λ
278	265, 277	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 Λ Λ
279		vmadivsum 25171	. . . . . . . . 9 Λ
280	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10
281	262	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
282		1red 10055	. . . . . . . . . 10
283		harmoniclbnd 24735	. . . . . . . . . . . . . 14
284	283	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
285	257, 261, 284	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
286	285	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
287	239	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
288		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
289		harmonicubnd 24736	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
290	287, 288, 289	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
291		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
292	261, 257, 291	lesubadd2d 10626	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
293	292	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
294	290, 293	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
295	286, 294	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
296	280, 281, 282, 282, 295	elo1d 14267	. . . . . . . . 9
297		o1sub 14346	. . . . . . . . 9 Λ $/\$ Λ
298	279, 296, 297	sylancr 695	. . . . . . . 8 Λ
299	278, 298	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 Λ
300	247	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ ψ
301		1cnd 10056	. . . . . . . 8 $/\$
302	241	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ
303		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
304	303	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
305		divdir 10710	. . . . . . . . . . . 12 ψ $/\$ $/\$ $/\$ ψ ψ
306	302, 301, 304, 305	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ ψ
307	306	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 ψ ψ
308		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
309	241, 308	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ
310		rpreccl 11857	. . . . . . . . . . . . 13
311	310	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
312		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 ψ ψ
313		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12
314	252, 309, 311, 312, 313	offval2 6914	. . . . . . . . . . 11 ψ ψ
315		chpo1ub 25169	. . . . . . . . . . . 12 ψ
316		divrcnv 14584	. . . . . . . . . . . . . 14
317	75, 316	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
318		rlimo1 14347	. . . . . . . . . . . . 13
319	317, 318	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12
320		o1add 14344	. . . . . . . . . . . 12 ψ $/\$ ψ
321	315, 319, 320	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ψ
322	314, 321	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 ψ
323	307, 322	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ψ
324	242, 308	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 $/\$ ψ
325		chpge0 24852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ψ
326	240, 325	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ψ
327	241, 326	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ψ
328	327	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ψ $/\$ ψ
329	246	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
330	329	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
331		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . 13 ψ $/\$ ψ $/\$ $/\$ ψ
332	328, 330, 331	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ
333	247, 332	absidd 14161	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ ψ
334	324	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ψ
335	334	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ
336		fllep1 12602	. . . . . . . . . . . . . 14
337	240, 336	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
338		rpregt0 11846	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
339	338	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
340	327	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ψ $/\$ ψ
341		lediv2 10913	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ψ $/\$ ψ ψ ψ
342	339, 330, 340, 341	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ψ ψ
343	337, 342	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ ψ
344	324	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ ψ
345	247, 324, 335, 343, 344	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ ψ
346	333, 345	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ ψ
347	346	adantrr 753	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ ψ ψ
348	282, 323, 324, 300, 347	o1le 14383	. . . . . . . 8 ψ
349		o1const 14350	. . . . . . . . . 10 $/\$
350	14, 75, 349	mp2an 708	. . . . . . . . 9
351	350	a1i 11	. . . . . . . 8
352	300, 301, 348, 351	o1sub2 14356	. . . . . . 7 ψ
353	238, 249, 299, 352	o1sub2 14356	. . . . . 6 Λ ψ
354	13, 353	o1res2 14294	. . . . 5 Λ ψ
355	232, 354	syl5eqelr 2706	. . . 4
356	16, 355	eqeltrd 2701	. . 3
357		eqid 2622	. . . . . 6
358	357, 225	fmpti 6383	. . . . 5
359	358	a1i 11	. . . 4
360		ssid 3624	. . . . 5
361	360	a1i 11	. . . 4
362	359, 361, 282	o1resb 14297	. . 3
363	356, 362	mpbird 247	. 2
364	363	trud 1493	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

wne 2794

cvv 3200

wss 3574 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cres 5116

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cico 12177

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cfl 12591

cabs 13974

crli 14216

co1 14217

csu 14416

clog 24301 Λcvma 24818 ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-o1 14221 df-lo1 14222 df-sum 14417 df-ef 14798 df-e 14799 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304 df-em 24719 df-cht 24823 df-vma 24824 df-chp 24825 df-ppi 24826

This theorem is referenced by: pntrsumbnd 25255

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