Theorem ordtrest2NEWlem 29968

Description: Lemma for ordtrest2NEW 29969. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtNEW.b	|- B = ( Base ` K )
ordtNEW.l	|- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
ordtrest2NEW.2	|- ( ph -> K e. Toset )
ordtrest2NEW.3	|- ( ph -> A C_ B )
ordtrest2NEW.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) } C_ A )

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2NEWlem	|- ( ph -> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, .<_   x, B, y   x, K, y   x, A, y, v, w, z   v, .<_   x, w, z, y, .<_   v, A, w, z   v, B, w, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( w, v)   K( z, w, v)

Proof of Theorem ordtrest2NEWlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab2 3900	. . . . 5 |- ( { w e. B | -. w .<_ z } i^i A ) = { w e. ( B i^i A ) | -. w .<_ z }
2		ordtrest2NEW.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ B )
3		sseqin2 3817	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
4	2, 3	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B i^i A ) = A )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( B i^i A ) = A )
6		rabeq 3192	. . . . . 6 |- ( ( B i^i A ) = A -> { w e. ( B i^i A ) | -. w .<_ z } = { w e. A | -. w .<_ z } )
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> { w e. ( B i^i A ) | -. w .<_ z } = { w e. A | -. w .<_ z } )
8	1, 7	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( { w e. B | -. w .<_ z } i^i A ) = { w e. A | -. w .<_ z } )
9		ordtNEW.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
10		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( le ` K ) e. _V
11	10	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) e. _V
12	9, 11	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- .<_ e. _V
13	12	inex1 4799	. . . . . . . . . . 11 |- ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = dom ( .<_ i^i ( A X. A ) )
16	15	ordttopon 20997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
18		ordtrest2NEW.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. Toset )
19		tospos 29658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Toset -> K e. Poset )
20		posprs 16949	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Poset -> K e. Preset )
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. Preset )
22		ordtNEW.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` K )
23	22, 9	prsssdm 29963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = A )
24	21, 2, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = A )
25	24	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (TopOn ` A ) )
26	17, 25	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) )
27		toponmax 20730	. . . . . . . 8 |- ( (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) -> A e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
29	28	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> A e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
30		rabid2 3118	. . . . . . 7 |- ( A = { w e. A | -. w .<_ z } <-> A. w e. A -. w .<_ z )
31		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( A = { w e. A | -. w .<_ z } -> ( A e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
32	30, 31	sylbir 225	. . . . . 6 |- ( A. w e. A -. w .<_ z -> ( A e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
33	29, 32	syl5ibcom 235	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( A. w e. A -. w .<_ z -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
34		dfrex2 2996	. . . . . . 7 |- ( E. w e. A w .<_ z <-> -. A. w e. A -. w .<_ z )
35		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w .<_ z <-> x .<_ z ) )
36	35	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. w e. A w .<_ z <-> E. x e. A x .<_ z )
37	34, 36	bitr3i 266	. . . . . 6 |- ( -. A. w e. A -. w .<_ z <-> E. x e. A x .<_ z )
38		ordttop 21004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
39	14, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
41		0opn 20709	. . . . . . . . . . 11 |- ( (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top -> (/) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> (/) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) -> (/) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
44		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( { w e. A | -. w .<_ z } = (/) -> ( { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> (/) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
45	43, 44	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) -> ( { w e. A | -. w .<_ z } = (/) -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
46		rabn0 3958	. . . . . . . . . 10 |- ( { w e. A | -. w .<_ z } =/= (/) <-> E. w e. A -. w .<_ z )
47		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = y -> ( w .<_ z <-> y .<_ z ) )
48	47	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( -. w .<_ z <-> -. y .<_ z ) )
49	48	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w e. A -. w .<_ z <-> E. y e. A -. y .<_ z )
50	46, 49	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( { w e. A | -. w .<_ z } =/= (/) <-> E. y e. A -. y .<_ z )
51	18	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) /\ y e. A ) -> K e. Toset )
52	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) -> A C_ B )
53	52	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) /\ y e. A ) -> y e. B )
54		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) /\ y e. A ) -> z e. B )
55	22, 9	trleile 29666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Toset /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y .<_ z \/ z .<_ y ) )
56	51, 53, 54, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) /\ y e. A ) -> ( y .<_ z \/ z .<_ y ) )
57	56	ord 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) /\ y e. A ) -> ( -. y .<_ z -> z .<_ y ) )
58		an4 865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. A /\ x .<_ z ) /\ ( y e. A /\ z .<_ y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x .<_ z /\ z .<_ y ) ) )
59		ordtrest2NEW.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) } C_ A )
60		rabss 3679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) } C_ A <-> A. z e. B ( ( x .<_ z /\ z .<_ y ) -> z e. A ) )
61	59, 60	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A. z e. B ( ( x .<_ z /\ z .<_ y ) -> z e. A ) )
62	61	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. B ) -> ( ( x .<_ z /\ z .<_ y ) -> z e. A ) )
63	62	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x .<_ z /\ z .<_ y ) -> z e. A ) )
64	63	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x .<_ z /\ z .<_ y ) ) ) -> z e. A )
65	58, 64	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( ( x e. A /\ x .<_ z ) /\ ( y e. A /\ z .<_ y ) ) ) -> z e. A )
66		brinxp 5181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w e. A /\ z e. A ) -> ( w .<_ z <-> w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z ) )
67	66	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( w .<_ z <-> w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z ) )
68	67	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( -. w .<_ z <-> -. w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z ) )
69	68	rabbidva 3188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. A -> { w e. A | -. w .<_ z } = { w e. A | -. w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z } )
70	65, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( ( x e. A /\ x .<_ z ) /\ ( y e. A /\ z .<_ y ) ) ) -> { w e. A | -. w .<_ z } = { w e. A | -. w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z } )
71	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( ( x e. A /\ x .<_ z ) /\ ( y e. A /\ z .<_ y ) ) ) -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = A )
72		rabeq 3192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = A -> { w e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z } = { w e. A | -. w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z } )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( ( x e. A /\ x .<_ z ) /\ ( y e. A /\ z .<_ y ) ) ) -> { w e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z } = { w e. A | -. w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z } )
74	70, 73	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( ( x e. A /\ x .<_ z ) /\ ( y e. A /\ z .<_ y ) ) ) -> { w e. A | -. w .<_ z } = { w e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z } )
75	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( ( x e. A /\ x .<_ z ) /\ ( y e. A /\ z .<_ y ) ) ) -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V )
76	65, 71	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( ( x e. A /\ x .<_ z ) /\ ( y e. A /\ z .<_ y ) ) ) -> z e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) )
77	15	ordtopn1 20998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V /\ z e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) -> { w e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
78	75, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( ( x e. A /\ x .<_ z ) /\ ( y e. A /\ z .<_ y ) ) ) -> { w e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. w ( .<_ i^i ( A X. A ) ) z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
79	74, 78	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( ( x e. A /\ x .<_ z ) /\ ( y e. A /\ z .<_ y ) ) ) -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
80	79	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) /\ ( y e. A /\ z .<_ y ) ) -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
81	80	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) /\ y e. A ) -> ( z .<_ y -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
82	57, 81	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) /\ y e. A ) -> ( -. y .<_ z -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
83	82	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) -> ( E. y e. A -. y .<_ z -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
84	50, 83	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) -> ( { w e. A | -. w .<_ z } =/= (/) -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
85	45, 84	pm2.61dne 2880	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ ( x e. A /\ x .<_ z ) ) -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
86	85	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( E. x e. A x .<_ z -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
87	37, 86	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( -. A. w e. A -. w .<_ z -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
88	33, 87	pm2.61d 170	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> { w e. A | -. w .<_ z } e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
89	8, 88	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( { w e. B | -. w .<_ z } i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
90	89	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. z e. B ( { w e. B | -. w .<_ z } i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
91		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) e. _V
92	22, 91	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- B e. _V
93	92	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
94		rabexg 4812	. . . . 5 |- ( B e. _V -> { w e. B | -. w .<_ z } e. _V )
95	93, 94	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> { w e. B | -. w .<_ z } e. _V )
96	95	ralrimivw 2967	. . 3 |- ( ph -> A. z e. B { w e. B | -. w .<_ z } e. _V )
97		eqid 2622	. . . 4 |- ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) = ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } )
98		ineq1 3807	. . . . 5 |- ( v = { w e. B | -. w .<_ z } -> ( v i^i A ) = ( { w e. B | -. w .<_ z } i^i A ) )
99	98	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( v = { w e. B | -. w .<_ z } -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( { w e. B | -. w .<_ z } i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
100	97, 99	ralrnmpt 6368	. . 3 |- ( A. z e. B { w e. B | -. w .<_ z } e. _V -> ( A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> A. z e. B ( { w e. B | -. w .<_ z } i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
101	96, 100	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> A. z e. B ( { w e. B | -. w .<_ z } i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
102	90, 101	mpbird 247	1 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948  ordTopcordt 16159   Preset cpreset 16926   Posetcpo 16940  Tosetctos 17033   Topctop 20698  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-ple 15961  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-preset 16928  df-poset 16946  df-toset 17034  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  29969