Theorem ply1bas 19565

Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	|- P = (Poly1 ` R )
ply1val.2	|- S = (PwSer1 ` R )
ply1bas.u	|- U = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
ply1bas	|- U = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )

Proof of Theorem ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bas.u	. 2 |- U = ( Base ` P )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1o mPwSer R ) = ( 1o mPwSer R )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
5		ply1val.2	. . . . 5 |- S = (PwSer1 ` R )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
7	5, 6, 3	psr1bas2 19560	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` ( 1o mPwSer R ) )
8	2, 3, 4, 7	mplbasss 19432	. . 3 |- ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) C_ ( Base ` S )
9		ply1val.1	. . . . 5 |- P = (Poly1 ` R )
10	9, 5	ply1val 19564	. . . 4 |- P = ( S ↾s ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) )
11	10, 6	ressbas2 15931	. . 3 |- ( ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) C_ ( Base ` S ) -> ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) = ( Base ` P ) )
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) = ( Base ` P )
13	1, 12	eqtr4i 2647	1 |- U = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )

Syntax hints:   = wceq 1483   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   Basecbs 15857   mPwSer cmps 19351   mPoly cmpl 19353  PwSer₁cps1 19545  Poly₁cpl1 19547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-ple 15961  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552

This theorem is referenced by:  ply1lss  19566  ply1subrg  19567  ply1crng  19568  ply1assa  19569  ply1basf  19572  ply1bascl2  19574  vr1cl  19587  ressply1bas2  19598  ressply1add  19600  ressply1mul  19601  ressply1vsca  19602  subrgply1  19603  ply1baspropd  19613  ply1ring  19618  ply1lmod  19622  ply1mpl0  19625  ply1mpl1  19627  subrg1asclcl  19630  subrgvr1cl  19632  coe1add  19634  coe1tm  19643  ply1coe  19666  evls1rhm  19687  evls1sca  19688  evl1rhm  19696  evl1sca  19698  evl1var  19700  evls1var  19702  mpfpf1  19715  pf1mpf  19716  deg1xrf  23841  deg1cl  23843  deg1nn0cl  23848  deg1ldg  23852  deg1leb  23855  deg1val  23856  deg1vscale  23864  deg1vsca  23865  deg1mulle2  23869  deg1le0  23871