Theorem preimageiingt 40930

Description: A preimage of a left-closed, unbounded above interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbounded above intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimageiingt.x	|- F/ x ph
preimageiingt.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
preimageiingt.c	|- ( ph -> C e. RR )

Assertion

Ref	Expression
preimageiingt	|- ( ph -> { x e. A | C <_ B } = |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   C, n   ph, n   x, n

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)   C( x)

Proof of Theorem preimageiingt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimageiingt.x	. . . 4 |- F/ x ph
2		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C <_ B ) /\ n e. NN ) -> x e. A )
3		preimageiingt.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. RR )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> C e. RR )
5		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
7	4, 6	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C - ( 1 / n ) ) e. RR )
8	7	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C - ( 1 / n ) ) e. RR* )
9	8	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C <_ B ) /\ n e. NN ) -> ( C - ( 1 / n ) ) e. RR* )
10	3	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR* )
11	10	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C <_ B ) /\ n e. NN ) -> C e. RR* )
12		preimageiingt.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C <_ B ) /\ n e. NN ) -> B e. RR* )
14		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
15		rpreccl 11857	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. RR+ -> ( 1 / n ) e. RR+ )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR+ )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR+ )
18	4, 17	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C - ( 1 / n ) ) < C )
19	18	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C <_ B ) /\ n e. NN ) -> ( C - ( 1 / n ) ) < C )
20		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C <_ B ) /\ n e. NN ) -> C <_ B )
21	9, 11, 13, 19, 20	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C <_ B ) /\ n e. NN ) -> ( C - ( 1 / n ) ) < B )
22	2, 21	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C <_ B ) /\ n e. NN ) -> ( x e. A /\ ( C - ( 1 / n ) ) < B ) )
23		rabid 3116	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } <-> ( x e. A /\ ( C - ( 1 / n ) ) < B ) )
24	22, 23	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C <_ B ) /\ n e. NN ) -> x e. { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } )
25	24	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C <_ B ) -> A. n e. NN x e. { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } )
26		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
27		eliin 4525	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ( x e. |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } <-> A. n e. NN x e. { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( x e. |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } <-> A. n e. NN x e. { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } )
29	25, 28	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C <_ B ) -> x e. |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } )
30	29	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C <_ B -> x e. |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } ) )
31	30	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A -> ( C <_ B -> x e. |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } ) ) )
32	1, 31	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A ( C <_ B -> x e. |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } ) )
33		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x NN
34		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ x { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B }
35	33, 34	nfiin 4549	. . . 4 |- F/_ x |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B }
36	35	rabssf 39302	. . 3 |- ( { x e. A | C <_ B } C_ |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } <-> A. x e. A ( C <_ B -> x e. |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } ) )
37	32, 36	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> { x e. A | C <_ B } C_ |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } )
38		nnn0 39595	. . . . 5 |- NN =/= (/)
39		iinrab 4582	. . . . 5 |- ( NN =/= (/) -> |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } = { x e. A | A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B } )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . 4 |- |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } = { x e. A | A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B }
41	40	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } = { x e. A | A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B } )
42	8	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. NN ) /\ ( C - ( 1 / n ) ) < B ) -> ( C - ( 1 / n ) ) e. RR* )
43	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. NN ) /\ ( C - ( 1 / n ) ) < B ) -> B e. RR* )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. NN ) /\ ( C - ( 1 / n ) ) < B ) -> ( C - ( 1 / n ) ) < B )
45	42, 43, 44	xrltled 39486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. NN ) /\ ( C - ( 1 / n ) ) < B ) -> ( C - ( 1 / n ) ) <_ B )
46	45	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. NN ) -> ( ( C - ( 1 / n ) ) < B -> ( C - ( 1 / n ) ) <_ B ) )
47	46	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B -> A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) <_ B ) )
48	47	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B ) -> A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) <_ B )
49		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( ph /\ x e. A )
50		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ n A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B
51	49, 50	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B )
52	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B ) -> C e. RR )
53	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B ) -> B e. RR* )
54	51, 52, 53	xrralrecnnge 39613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B ) -> ( C <_ B <-> A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) <_ B ) )
55	48, 54	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B ) -> C <_ B )
56	55	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B -> C <_ B ) )
57	56	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A -> ( A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B -> C <_ B ) ) )
58	1, 57	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A ( A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B -> C <_ B ) )
59		ss2rab 3678	. . . 4 |- ( { x e. A | A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B } C_ { x e. A | C <_ B } <-> A. x e. A ( A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B -> C <_ B ) )
60	58, 59	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> { x e. A | A. n e. NN ( C - ( 1 / n ) ) < B } C_ { x e. A | C <_ B } )
61	41, 60	eqsstrd 3639	. 2 |- ( ph -> |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } C_ { x e. A | C <_ B } )
62	37, 61	eqssd 3620	1 |- ( ph -> { x e. A | C <_ B } = |^|_ n e. NN { x e. A | ( C - ( 1 / n ) ) < B } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  salpreimagtge  40934