Theorem 2prm 15405

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	|- 2 e. Prime

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11409	. . 3 |- 2 e. ZZ
2		1lt2 11194	. . 3 |- 1 < 2
3		eluz2b1 11759	. . 3 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 1 < 2 ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 955	. 2 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
5		ral0 4076	. . 3 |- A. z e. (/) -. z || 2
6		fzssuz 12382	. . . . . 6 |- ( 2 ... ( 2 - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 2 )
7		df-ss 3588	. . . . . 6 |- ( ( 2 ... ( 2 - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 ... ( 2 - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = ( 2 ... ( 2 - 1 ) ) )
8	6, 7	mpbi 220	. . . . 5 |- ( ( 2 ... ( 2 - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = ( 2 ... ( 2 - 1 ) )
9		uzdisj 12413	. . . . 5 |- ( ( 2 ... ( 2 - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = (/)
10	8, 9	eqtr3i 2646	. . . 4 |- ( 2 ... ( 2 - 1 ) ) = (/)
11	10	raleqi 3142	. . 3 |- ( A. z e. ( 2 ... ( 2 - 1 ) ) -. z || 2 <-> A. z e. (/) -. z || 2 )
12	5, 11	mpbir 221	. 2 |- A. z e. ( 2 ... ( 2 - 1 ) ) -. z || 2
13		isprm3 15396	. 2 |- ( 2 e. Prime <-> ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( 2 - 1 ) ) -. z || 2 ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 955	1 |- 2 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   < clt 10074   - cmin 10266   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  isoddgcd1  15439  3lcm2e6  15440  pythagtriplem4  15524  pc2dvds  15583  oddprmdvds  15607  prmo2  15744  prmgaplem3  15757  lt6abl  18296  ppi2  24896  cht2  24898  1sgm2ppw  24925  perfectlem1  24954  perfectlem2  24955  perfect  24956  bpos1  25008  lgs2  25039  lgsdir2  25055  lgseisenlem2  25101  lgsquad2lem1  25109  lgsquad2lem2  25110  lgsquad3  25112  m1lgs  25113  2lgs  25132  2lgsoddprm  25141  dchrisum0flb  25199  numclwwlk5lem  27245  hgt750lemd  30726  goldbachthlem2  41458  odz2prm2pw  41475  fmtnoprmfac1  41477  fmtnoprmfac2  41479  lighneallem2  41523  lighneallem3  41524  lighneallem4  41527  proththd  41531  isodd7  41577  perfectALTV  41632  7gbow  41660  sbgoldbalt  41669  sgoldbeven3prm  41671  sbgoldbo  41675  nnsum3primes4  41676  nnsum3primesle9  41682  zlmodzxznm  42286