Theorem prmunb2 38510

Description: The primes are unbounded. This generalizes prmunb 15618 to real A with arch 11289 and lttrd 10198: every real is less than some positive integer, itself less than some prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb2	|- ( A e. RR -> E. p e. Prime A < p )

Distinct variable group:   A, p

Proof of Theorem prmunb2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 798	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ n e. NN ) /\ p e. Prime ) /\ ( A < n /\ n < p ) ) -> A e. RR )
2		nnre 11027	. . . . 5 |- ( n e. NN -> n e. RR )
3	2	ad3antlr 767	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ n e. NN ) /\ p e. Prime ) /\ ( A < n /\ n < p ) ) -> n e. RR )
4		prmz 15389	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
5	4	zred 11482	. . . . 5 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
6	5	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ n e. NN ) /\ p e. Prime ) /\ ( A < n /\ n < p ) ) -> p e. RR )
7		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ n e. NN ) /\ p e. Prime ) /\ ( A < n /\ n < p ) ) -> A < n )
8		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ n e. NN ) /\ p e. Prime ) /\ ( A < n /\ n < p ) ) -> n < p )
9	1, 3, 6, 7, 8	lttrd 10198	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ n e. NN ) /\ p e. Prime ) /\ ( A < n /\ n < p ) ) -> A < p )
10		arch 11289	. . . . 5 |- ( A e. RR -> E. n e. NN A < n )
11		prmunb 15618	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> E. p e. Prime n < p )
12	11	rgen 2922	. . . . 5 |- A. n e. NN E. p e. Prime n < p
13		r19.29r 3073	. . . . 5 |- ( ( E. n e. NN A < n /\ A. n e. NN E. p e. Prime n < p ) -> E. n e. NN ( A < n /\ E. p e. Prime n < p ) )
14	10, 12, 13	sylancl 694	. . . 4 |- ( A e. RR -> E. n e. NN ( A < n /\ E. p e. Prime n < p ) )
15		r19.42v 3092	. . . . 5 |- ( E. p e. Prime ( A < n /\ n < p ) <-> ( A < n /\ E. p e. Prime n < p ) )
16	15	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. n e. NN E. p e. Prime ( A < n /\ n < p ) <-> E. n e. NN ( A < n /\ E. p e. Prime n < p ) )
17	14, 16	sylibr 224	. . 3 |- ( A e. RR -> E. n e. NN E. p e. Prime ( A < n /\ n < p ) )
18	9, 17	reximddv2 3020	. 2 |- ( A e. RR -> E. n e. NN E. p e. Prime A < p )
19		1nn 11031	. . 3 |- 1 e. NN
20		ne0i 3921	. . 3 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
21		r19.9rzv 4065	. . 3 |- ( NN =/= (/) -> ( E. p e. Prime A < p <-> E. n e. NN E. p e. Prime A < p ) )
22	19, 20, 21	mp2b 10	. 2 |- ( E. p e. Prime A < p <-> E. n e. NN E. p e. Prime A < p )
23	18, 22	sylibr 224	1 |- ( A e. RR -> E. p e. Prime A < p )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   NNcn 11020   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by: (None)