Theorem dvgrat 38511

Description: Ratio test for divergence of a complex infinite series. See e.g. remark "if ( abs ` ( ( a ` ( n + 1 ) ) / ( a ` n ) ) ) >_ 1 for all large n..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvgrat.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvgrat.w	|- W = ( ZZ>= ` N )
dvgrat.n	|- ( ph -> N e. Z )
dvgrat.f	|- ( ph -> F e. V )
dvgrat.c	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
dvgrat.n0	|- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( F ` k ) =/= 0 )
dvgrat.le	|- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dvgrat	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e/ dom ~~> )

Distinct variable groups:   ph, k   k, F   k, N   k, W   k, M   k, V   k, Z

Proof of Theorem dvgrat

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvgrat.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. Z )
2		dvgrat.z	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluzelz 11697	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
6		uzid 11702	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
7		dvgrat.w	. . . . . . . 8 |- W = ( ZZ>= ` N )
8	6, 7	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. W )
9	5, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. W )
10		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = N ) -> k = N )
11	10	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = N ) -> ( k e. W <-> N e. W ) )
12	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = N ) -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
13	12	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = N ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
14	13	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = N ) -> ( 0 < ( abs ` ( F ` k ) ) <-> 0 < ( abs ` ( F ` N ) ) ) )
15	11, 14	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = N ) -> ( ( k e. W -> 0 < ( abs ` ( F ` k ) ) ) <-> ( N e. W -> 0 < ( abs ` ( F ` N ) ) ) ) )
16		dvgrat.n0	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( F ` k ) =/= 0 )
17	7	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. W <-> k e. ( ZZ>= ` N ) )
18	2	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. Z )
19	17, 18	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Z /\ k e. W ) -> k e. Z )
20	1, 19	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. Z )
21		dvgrat.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
22	20, 21	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( F ` k ) e. CC )
23		absgt0 14064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` k ) e. CC -> ( ( F ` k ) =/= 0 <-> 0 < ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( F ` k ) =/= 0 <-> 0 < ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
25	16, 24	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> 0 < ( abs ` ( F ` k ) ) )
26	25	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. W -> 0 < ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
27	1, 15, 26	vtocld 3257	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N e. W -> 0 < ( abs ` ( F ` N ) ) ) )
28	9, 27	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( abs ` ( F ` N ) ) )
29		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
30	10	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = N ) -> ( k e. Z <-> N e. Z ) )
31	12	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = N ) -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` N ) e. CC ) )
32	30, 31	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = N ) -> ( ( k e. Z -> ( F ` k ) e. CC ) <-> ( N e. Z -> ( F ` N ) e. CC ) ) )
33	21	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. Z -> ( F ` k ) e. CC ) )
34	1, 32, 33	vtocld 3257	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N e. Z -> ( F ` N ) e. CC ) )
35	1, 34	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` N ) e. CC )
36	35	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) e. RR )
37	29, 36	ltnled 10184	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 < ( abs ` ( F ` N ) ) <-> -. ( abs ` ( F ` N ) ) <_ 0 ) )
38	28, 37	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> -. ( abs ` ( F ` N ) ) <_ 0 )
39	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F ~~> 0 ) -> N e. ZZ )
40	36	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F ~~> 0 ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) e. RR )
41		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F ~~> 0 ) -> F ~~> 0 )
42		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` N ) e. _V
43	7, 42	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- W e. _V
44	43	mptex 6486	. . . . . . . 8 |- ( i e. W |-> ( abs ` ( F ` i ) ) ) e. _V
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F ~~> 0 ) -> ( i e. W |-> ( abs ` ( F ` i ) ) ) e. _V )
46	22	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) -> ( F ` k ) e. CC )
47		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) -> ( i e. W |-> ( abs ` ( F ` i ) ) ) = ( i e. W |-> ( abs ` ( F ` i ) ) ) )
48		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) /\ i = k ) -> i = k )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) /\ i = k ) -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) /\ i = k ) -> ( abs ` ( F ` i ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
51		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) -> k e. W )
52		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` ( F ` k ) ) e. _V
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. _V )
54	47, 50, 51, 53	fvmptd 6288	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) -> ( ( i e. W |-> ( abs ` ( F ` i ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
55	7, 41, 45, 39, 46, 54	climabs 14334	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F ~~> 0 ) -> ( i e. W |-> ( abs ` ( F ` i ) ) ) ~~> ( abs ` 0 ) )
56		abs0 14025	. . . . . 6 |- ( abs ` 0 ) = 0
57	55, 56	syl6breq 4694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F ~~> 0 ) -> ( i e. W |-> ( abs ` ( F ` i ) ) ) ~~> 0 )
58	46	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
59	54, 58	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) -> ( ( i e. W |-> ( abs ` ( F ` i ) ) ) ` k ) e. RR )
60		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( F ` i ) = ( F ` N ) )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = N -> ( abs ` ( F ` i ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
62	61	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = N -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` i ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` N ) ) ) )
63	62	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( i = N -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` i ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` N ) ) ) ) )
64		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( abs ` ( F ` i ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
66	65	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` i ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
67	66	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` i ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) ) )
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( abs ` ( F ` i ) ) = ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
70	69	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` i ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
71	70	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` i ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
72	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. ZZ ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) e. RR )
73	72	leidd 10594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ZZ ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` N ) ) )
74	73	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` N ) ) ) )
75	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. W ) /\ ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) e. RR )
76	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. W ) /\ ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
77	76	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. W ) /\ ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
78	7	peano2uzs 11742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. W -> ( k + 1 ) e. W )
79		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k + 1 ) e. _V
80		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( i e. W <-> ( k + 1 ) e. W ) )
81	80	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ i e. W ) <-> ( ph /\ ( k + 1 ) e. W ) ) )
82	68	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( F ` i ) e. CC <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
83	81, 82	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. W ) -> ( F ` i ) e. CC ) <-> ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. W ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) ) )
84		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = i -> ( k e. W <-> i e. W ) )
85	84	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = i -> ( ( ph /\ k e. W ) <-> ( ph /\ i e. W ) ) )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = i -> ( F ` k ) = ( F ` i ) )
87	86	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` i ) e. CC ) )
88	85, 87	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = i -> ( ( ( ph /\ k e. W ) -> ( F ` k ) e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. W ) -> ( F ` i ) e. CC ) ) )
89	88, 22	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. W ) -> ( F ` i ) e. CC )
90	79, 83, 89	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. W ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
91	78, 90	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. W ) /\ ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
93	92	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. W ) /\ ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
94		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. W ) /\ ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) )
95		dvgrat.le	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. W ) /\ ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
97	75, 77, 93, 94, 96	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. W ) /\ ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
98	97	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
99	17, 98	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
100	99	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ph -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
101	100	a2d 29	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
102	63, 67, 71, 67, 74, 101	uzind4 11746	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
103	102	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) )
104	17, 103	sylan2b 492	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) )
105	104	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` k ) ) )
106	105, 54	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ~~> 0 ) /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( i e. W |-> ( abs ` ( F ` i ) ) ) ` k ) )
107	7, 39, 40, 57, 59, 106	climlec2 14389	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ~~> 0 ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ 0 )
108	38, 107	mtand 691	. . 3 |- ( ph -> -. F ~~> 0 )
109		eluzel2 11692	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
110	3, 109	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
111	110	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) -> M e. ZZ )
112		dvgrat.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. V )
113	112	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) -> F e. V )
114		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
115	21	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
116	2, 111, 113, 114, 115	serf0 14411	. . 3 |- ( ( ph /\ seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) -> F ~~> 0 )
117	108, 116	mtand 691	. 2 |- ( ph -> -. seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
118		df-nel 2898	. 2 |- ( seq M ( + , F ) e/ dom ~~> <-> -. seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
119	117, 118	sylibr 224	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e/ dom ~~> )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  cvgdvgrat  38512