Theorem zexpcl 12875

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 11385	. 2 |- ZZ C_ CC
2		zmulcl 11426	. 2 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
3		1z 11407	. 2 |- 1 e. ZZ
4	1, 2, 3	expcllem 12871	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  zsqcl  12934  modexp  12999  climcndslem1  14581  iddvdsexp  15005  dvdsexp  15049  3dvds  15052  3dvdsOLD  15053  prmdvdsexp  15427  rpexp  15432  rpexp12i  15434  phiprmpw  15481  eulerthlem2  15487  fermltl  15489  prmdiv  15490  prmdiveq  15491  odzcllem  15497  odzdvds  15500  odzphi  15501  vfermltlALT  15507  powm2modprm  15508  pcneg  15578  pcprmpw  15587  prmpwdvds  15608  pockthlem  15609  dyaddisjlem  23363  aalioulem1  24087  aaliou3lem6  24103  muf  24866  dvdsppwf1o  24912  mersenne  24952  lgslem1  25022  lgslem4  25025  lgsval2lem  25032  lgsvalmod  25041  lgsmod  25048  lgsdirprm  25056  lgsne0  25060  lgsqrlem1  25071  gausslemma2dlem7  25098  gausslemma2d  25099  lgseisenlem2  25101  lgseisenlem4  25103  m1lgs  25113  mdetlap  29898  oddpwdc  30416  dvdspw  31636  nn0prpwlem  32317  nn0prpw  32318  knoppndvlem2  32504  jm2.18  37555  jm2.22  37562  jm2.23  37563  jm2.20nn  37564  inductionexd  38453  etransclem3  40454  etransclem7  40458  etransclem10  40461  etransclem24  40475  etransclem27  40478  etransclem35  40486  2pwp1prm  41503  sfprmdvdsmersenne  41520  lighneallem4b  41526  lighneallem4  41527  proththd  41531  41prothprmlem2  41535  nnpw2evenALTV  41611  pw2m1lepw2m1  42310  nnpw2blenfzo  42375  dignn0fr  42395  digexp  42401  dignn0flhalflem1  42409