pythagtriplem14 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pythagtriplem14		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem pythagtriplem14 15533

Description: Lemma for pythagtrip 15539. Calculate the square of

. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pythagtriplem13.1

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem14	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pythagtriplem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem13.1	. . 3
2	1	oveq1i 6660	. 2
3		nncn 11028	. . . . . . . . 9
4		nncn 11028	. . . . . . . . 9
5		addcl 10018	. . . . . . . . 9 $/\$
6	3, 4, 5	syl2anr 495	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	sqrtcld 14176	. . . . . . 7 $/\$
8		subcl 10280	. . . . . . . . 9 $/\$
9	3, 4, 8	syl2anr 495	. . . . . . . 8 $/\$
10	9	sqrtcld 14176	. . . . . . 7 $/\$
11	7, 10	subcld 10392	. . . . . 6 $/\$
12	11	3adant1 1079	. . . . 5 $/\$ $/\$
13	12	3ad2ant1 1082	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		2cn 11091	. . . . 5
15		2ne0 11113	. . . . 5
16		sqdiv 12928	. . . . 5 $/\$ $/\$
17	14, 15, 16	mp3an23 1416	. . . 4
18	13, 17	syl 17	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	14	sqvali 12943	. . . . 5
20	19	oveq2i 6661	. . . 4
21	13	sqcld 13006	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		2cnne0 11242	. . . . . . 7 $/\$
23		divdiv1 10736	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	22, 22, 23	mp3an23 1416	. . . . . 6
25	21, 24	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		simp12 1092	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		simp13 1093	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	26, 27, 7	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	26, 27, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		binom2sub 12981	. . . . . . . . . 10 $/\$
31	28, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . 15
33		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . 15
34		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
35	32, 33, 34	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
36	35	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
37	36	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	37	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	32, 33, 39	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	40	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
42	41	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	42	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	7	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
45	10	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	44, 45	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
48	14, 46, 47	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
49	48	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	38, 43, 49	addsubd 10413	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	27	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		simp11 1091	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		subdi 10463	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
55	14, 54	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
56	51, 53, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		ppncan 10323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
58	57	3anidm13 1384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		2times 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61	58, 60	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
62	3, 4, 61	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
63	62	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
64	63	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	26	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
67	51, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
69	68	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
71	70	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
72	71	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
73	4	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
74	73	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
75	72, 74	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
76	75	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	69, 76	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	67, 77	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
81	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
82		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
84		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
86	80, 81, 83, 85	addgt0d 10602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
87		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
88		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
89	87, 88	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90	35, 86, 89	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
91	90	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
92	91	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		pythagtriplem10 15525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
96	87, 95	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	42, 94, 96	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	37, 92, 42, 97	sqrtmuld 14163	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	79, 98	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
101	100	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
102	101	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104	103	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
105	104	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	102, 106	sqrtsqd 14158	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	99, 107	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	64, 109	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	56, 110	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		resqrtth 13996	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
113	37, 92, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115		resqrtth 13996	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
116	42, 97, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	114, 116	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	50, 111, 117	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	31, 118	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121		subcl 10280	. . . . . . . . . . 11 $/\$
122	3, 70, 121	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 $/\$
123	122	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
124	123	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		divcan3 10711	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
126	14, 15, 125	mp3an23 1416	. . . . . . . 8
127	124, 126	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	120, 127	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	oveq1d 6665	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	25, 129	eqtr3d 2658	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	20, 130	syl5eq 2668	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	18, 131	eqtrd 2656	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	2, 132	syl5eq 2668	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cexp 12860

csqrt 13973

cdvds 14983

cgcd 15216

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976

This theorem is referenced by: pythagtriplem15 15534 pythagtriplem17 15536

W3C validator