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Theorem quartlem1 24584

Description: Lemma for quart 24588. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
quartlem1.p
quartlem1.q
quartlem1.r
quartlem1.u	;
quartlem1.v	; ;

**Assertion**
Ref	Expression
quartlem1	$/\$ ;

**Proof of Theorem quartlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11091	. . . . . . . . . 10
2		quartlem1.p	. . . . . . . . . 10
3		sqmul 12926	. . . . . . . . . 10 $/\$
4	1, 2, 3	sylancr 695	. . . . . . . . 9
5		sq2 12960	. . . . . . . . . 10
6	5	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
7	4, 6	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
8	7	oveq1d 6665	. . . . . . 7
9		4cn 11098	. . . . . . . . 9
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8
11		3cn 11095	. . . . . . . . 9
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8
13	2	sqcld 13006	. . . . . . . 8
14	10, 12, 13	subdird 10487	. . . . . . 7
15	8, 14	eqtr4d 2659	. . . . . 6
16		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10
17		3p1e4 11153	. . . . . . . . . 10
18	9, 11, 16, 17	subaddrii 10370	. . . . . . . . 9
19	18	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
20		mulid2 10038	. . . . . . . 8
21	19, 20	syl5eq 2668	. . . . . . 7
22	13, 21	syl 17	. . . . . 6
23	15, 22	eqtr2d 2657	. . . . 5
24	23	oveq1d 6665	. . . 4 ; ;
25		mulcl 10020	. . . . . . 7 $/\$
26	1, 2, 25	sylancr 695	. . . . . 6
27	26	sqcld 13006	. . . . 5
28		mulcl 10020	. . . . . 6 $/\$
29	11, 13, 28	sylancr 695	. . . . 5
30		1nn0 11308	. . . . . . . 8
31		2nn 11185	. . . . . . . 8
32	30, 31	decnncl 11518	. . . . . . 7 ;
33	32	nncni 11030	. . . . . 6 ;
34		quartlem1.r	. . . . . 6
35		mulcl 10020	. . . . . 6 ; $/\$ ;
36	33, 34, 35	sylancr 695	. . . . 5 ;
37	27, 29, 36	subsubd 10420	. . . 4 ; ;
38	24, 37	eqtr4d 2659	. . 3 ; ;
39		quartlem1.u	. . 3 ;
40		mulcl 10020	. . . . . . 7 $/\$
41	9, 34, 40	sylancr 695	. . . . . 6
42	12, 13, 41	subdid 10486	. . . . 5
43		4t3e12 11632	. . . . . . . . 9 ;
44	9, 11, 43	mulcomli 10047	. . . . . . . 8 ;
45	44	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ;
46	12, 10, 34	mulassd 10063	. . . . . . 7
47	45, 46	syl5eqr 2670	. . . . . 6 ;
48	47	oveq2d 6666	. . . . 5 ;
49	42, 48	eqtr4d 2659	. . . 4 ;
50	49	oveq2d 6666	. . 3 ;
51	38, 39, 50	3eqtr4d 2666	. 2
52	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10
53		3nn0 11310	. . . . . . . . . . 11
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10
55	52, 2, 54	mulexpd 13023	. . . . . . . . 9
56		cu2 12963	. . . . . . . . . 10
57	56	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
58	55, 57	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . 7
60		8cn 11106	. . . . . . . . 9
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8
62		expcl 12878	. . . . . . . . 9 $/\$
63	2, 53, 62	sylancl 694	. . . . . . . 8
64	52, 61, 63	mul12d 10245	. . . . . . 7
65	59, 64	eqtrd 2656	. . . . . 6
66		9cn 11108	. . . . . . . . 9
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8
68		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 $/\$
69	1, 63, 68	sylancr 695	. . . . . . . 8
70	2, 34	mulcld 10060	. . . . . . . . 9
71		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 $/\$
72	60, 70, 71	sylancr 695	. . . . . . . 8
73	67, 69, 72	subdid 10486	. . . . . . 7
74	26, 13, 41	subdid 10486	. . . . . . . . 9
75	52, 2, 13	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11
76	2, 13	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13
77		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . 15
78	77	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14
79		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . 15
80		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	2, 79, 80	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14
82	78, 81	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13
83	76, 82	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
85	75, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
86	52, 2, 10, 34	mul4d 10248	. . . . . . . . . . 11
87		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . . 13
88	9, 1, 87	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . 12
89	88	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11
90	86, 89	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10
91	85, 90	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
92	74, 91	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
93	92	oveq2d 6666	. . . . . . 7
94		9t8e72 11669	. . . . . . . . . 10 ;
95	94	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ;
96	67, 61, 70	mulassd 10063	. . . . . . . . 9
97	95, 96	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 ;
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ;
99	73, 93, 98	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 ;
100	65, 99	oveq12d 6668	. . . . 5 ;
101		mulcl 10020	. . . . . . 7 $/\$
102	60, 69, 101	sylancr 695	. . . . . 6
103		mulcl 10020	. . . . . . 7 $/\$
104	66, 69, 103	sylancr 695	. . . . . 6
105		7nn0 11314	. . . . . . . . 9
106	105, 31	decnncl 11518	. . . . . . . 8 ;
107	106	nncni 11030	. . . . . . 7 ;
108		mulcl 10020	. . . . . . 7 ; $/\$ ;
109	107, 70, 108	sylancr 695	. . . . . 6 ;
110	102, 104, 109	subsubd 10420	. . . . 5 ; ;
111	104, 102	negsubdi2d 10408	. . . . . . 7
112	67, 61, 69	subdird 10487	. . . . . . . . 9
113		8p1e9 11158	. . . . . . . . . . . 12
114	66, 60, 16, 113	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . 11
115	114	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10
116	69	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10
117	115, 116	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9
118	112, 117	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8
119	118	negeqd 10275	. . . . . . 7
120	111, 119	eqtr3d 2658	. . . . . 6
121	120	oveq1d 6665	. . . . 5 ; ;
122	100, 110, 121	3eqtrd 2660	. . . 4 ;
123		7nn 11190	. . . . . . 7
124	79, 123	decnncl 11518	. . . . . 6 ;
125	124	nncni 11030	. . . . 5 ;
126		quartlem1.q	. . . . . 6
127	126	sqcld 13006	. . . . 5
128		mulneg2 10467	. . . . 5 ; $/\$ ; ;
129	125, 127, 128	sylancr 695	. . . 4 ; ;
130	122, 129	oveq12d 6668	. . 3 ; ; ;
131	69	negcld 10379	. . . . 5
132		mulcl 10020	. . . . . 6 ; $/\$ ;
133	125, 127, 132	sylancr 695	. . . . 5 ;
134	131, 109, 133	addsubd 10413	. . . 4 ; ; ; ;
135	131, 109	addcld 10059	. . . . 5 ;
136	135, 133	negsubd 10398	. . . 4 ; ; ; ;
137		quartlem1.v	. . . 4 ; ;
138	134, 136, 137	3eqtr4d 2666	. . 3 ; ;
139	130, 138	eqtr2d 2657	. 2 ;
140	51, 139	jca 554	1 $/\$ ;

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990 (class class class)co 6650

cc 9934

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c7 11075

c8 11076

c9 11077

cn0 11292 ;cdc 11493

cexp 12860

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-seq 12802 df-exp 12861

This theorem is referenced by: quart 24588

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