Theorem quartlem2 24585

Description: Closure lemmas for quart 24588. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quart.a	|- ( ph -> A e. CC )
quart.b	|- ( ph -> B e. CC )
quart.c	|- ( ph -> C e. CC )
quart.d	|- ( ph -> D e. CC )
quart.x	|- ( ph -> X e. CC )
quart.e	|- ( ph -> E = -u ( A / 4 ) )
quart.p	|- ( ph -> P = ( B - ( ( 3 / 8 ) x. ( A ^ 2 ) ) ) )
quart.q	|- ( ph -> Q = ( ( C - ( ( A x. B ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 8 ) ) )
quart.r	|- ( ph -> R = ( ( D - ( ( C x. A ) / 4 ) ) + ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) / ; 1 6 ) - ( ( 3 / ;; 2 5 6 ) x. ( A ^ 4 ) ) ) ) )
quart.u	|- ( ph -> U = ( ( P ^ 2 ) + (; 1 2 x. R ) ) )
quart.v	|- ( ph -> V = ( ( -u ( 2 x. ( P ^ 3 ) ) - (; 2 7 x. ( Q ^ 2 ) ) ) + (; 7 2 x. ( P x. R ) ) ) )
quart.w	|- ( ph -> W = ( sqr ` ( ( V ^ 2 ) - ( 4 x. ( U ^ 3 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
quartlem2	|- ( ph -> ( U e. CC /\ V e. CC /\ W e. CC ) )

Proof of Theorem quartlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quart.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( ( P ^ 2 ) + (; 1 2 x. R ) ) )
2		quart.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
3		quart.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
4		quart.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. CC )
5		quart.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. CC )
6		quart.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> P = ( B - ( ( 3 / 8 ) x. ( A ^ 2 ) ) ) )
7		quart.q	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q = ( ( C - ( ( A x. B ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 8 ) ) )
8		quart.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R = ( ( D - ( ( C x. A ) / 4 ) ) + ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) / ; 1 6 ) - ( ( 3 / ;; 2 5 6 ) x. ( A ^ 4 ) ) ) ) )
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	quart1cl 24581	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P e. CC /\ Q e. CC /\ R e. CC ) )
10	9	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ph -> P e. CC )
11	10	sqcld 13006	. . . 4 |- ( ph -> ( P ^ 2 ) e. CC )
12		1nn0 11308	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
13		2nn 11185	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
14	12, 13	decnncl 11518	. . . . . 6 |- ; 1 2 e. NN
15	14	nncni 11030	. . . . 5 |- ; 1 2 e. CC
16	9	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ph -> R e. CC )
17		mulcl 10020	. . . . 5 |- ( (; 1 2 e. CC /\ R e. CC ) -> (; 1 2 x. R ) e. CC )
18	15, 16, 17	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> (; 1 2 x. R ) e. CC )
19	11, 18	addcld 10059	. . 3 |- ( ph -> ( ( P ^ 2 ) + (; 1 2 x. R ) ) e. CC )
20	1, 19	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> U e. CC )
21		quart.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( ( -u ( 2 x. ( P ^ 3 ) ) - (; 2 7 x. ( Q ^ 2 ) ) ) + (; 7 2 x. ( P x. R ) ) ) )
22		2cn 11091	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
23		3nn0 11310	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
24		expcl 12878	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( P ^ 3 ) e. CC )
25	10, 23, 24	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ^ 3 ) e. CC )
26		mulcl 10020	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ ( P ^ 3 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( P ^ 3 ) ) e. CC )
27	22, 25, 26	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( P ^ 3 ) ) e. CC )
28	27	negcld 10379	. . . . 5 |- ( ph -> -u ( 2 x. ( P ^ 3 ) ) e. CC )
29		2nn0 11309	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
30		7nn 11190	. . . . . . . 8 |- 7 e. NN
31	29, 30	decnncl 11518	. . . . . . 7 |- ; 2 7 e. NN
32	31	nncni 11030	. . . . . 6 |- ; 2 7 e. CC
33	9	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. CC )
34	33	sqcld 13006	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ 2 ) e. CC )
35		mulcl 10020	. . . . . 6 |- ( (; 2 7 e. CC /\ ( Q ^ 2 ) e. CC ) -> (; 2 7 x. ( Q ^ 2 ) ) e. CC )
36	32, 34, 35	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> (; 2 7 x. ( Q ^ 2 ) ) e. CC )
37	28, 36	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( -u ( 2 x. ( P ^ 3 ) ) - (; 2 7 x. ( Q ^ 2 ) ) ) e. CC )
38		7nn0 11314	. . . . . . 7 |- 7 e. NN0
39	38, 13	decnncl 11518	. . . . . 6 |- ; 7 2 e. NN
40	39	nncni 11030	. . . . 5 |- ; 7 2 e. CC
41	10, 16	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ph -> ( P x. R ) e. CC )
42		mulcl 10020	. . . . 5 |- ( (; 7 2 e. CC /\ ( P x. R ) e. CC ) -> (; 7 2 x. ( P x. R ) ) e. CC )
43	40, 41, 42	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> (; 7 2 x. ( P x. R ) ) e. CC )
44	37, 43	addcld 10059	. . 3 |- ( ph -> ( ( -u ( 2 x. ( P ^ 3 ) ) - (; 2 7 x. ( Q ^ 2 ) ) ) + (; 7 2 x. ( P x. R ) ) ) e. CC )
45	21, 44	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> V e. CC )
46		quart.w	. . 3 |- ( ph -> W = ( sqr ` ( ( V ^ 2 ) - ( 4 x. ( U ^ 3 ) ) ) ) )
47	45	sqcld 13006	. . . . 5 |- ( ph -> ( V ^ 2 ) e. CC )
48		4cn 11098	. . . . . 6 |- 4 e. CC
49		expcl 12878	. . . . . . 7 |- ( ( U e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( U ^ 3 ) e. CC )
50	20, 23, 49	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U ^ 3 ) e. CC )
51		mulcl 10020	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. CC /\ ( U ^ 3 ) e. CC ) -> ( 4 x. ( U ^ 3 ) ) e. CC )
52	48, 50, 51	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( U ^ 3 ) ) e. CC )
53	47, 52	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( ( V ^ 2 ) - ( 4 x. ( U ^ 3 ) ) ) e. CC )
54	53	sqrtcld 14176	. . 3 |- ( ph -> ( sqr ` ( ( V ^ 2 ) - ( 4 x. ( U ^ 3 ) ) ) ) e. CC )
55	46, 54	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> W e. CC )
56	20, 45, 55	3jca 1242	1 |- ( ph -> ( U e. CC /\ V e. CC /\ W e. CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   8c8 11076   NN0cn0 11292  ;cdc 11493   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  quartlem3  24586  quart  24588