Theorem rusgrnumwwlks 26869

Description: Induction step for rusgrnumwwlk 26870. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Aug-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rusgrnumwwlk.v	|- V = (Vtx ` G )
rusgrnumwwlk.l	|- L = ( v e. V , n e. NN0 |-> ( # ` { w e. ( n WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = v } ) )

Assertion

Ref	Expression
rusgrnumwwlks	|- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, G, v, w   n, N, v, w   P, n, v, w   n, V, v, w   w, K

Allowed substitution hints:   K( v, n)   L( w, v, n)

Proof of Theorem rusgrnumwwlks

Dummy variables i p x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr2 1068	. . 3 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> P e. V )
2		simpr3 1069	. . 3 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> N e. NN0 )
3		rusgrnumwwlk.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
4		rusgrnumwwlk.l	. . . . 5 |- L = ( v e. V , n e. NN0 |-> ( # ` { w e. ( n WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = v } ) )
5	3, 4	rusgrnumwwlklem 26865	. . . 4 |- ( ( P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( P L N ) = ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) )
6	5	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( ( P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) <-> ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 693	. 2 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) <-> ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
9	8	wwlksnredwwlkn0 26791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) ) )
10	9	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) ) ) )
11	10	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) ) ) )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) ) ) )
13	12	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) ) -> ( ( w ` 0 ) = P <-> E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) ) )
14	13	rabbidva 3188	. . . . . . 7 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } = { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } = { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } )
16	15	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) )
17		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) -> ( y ` 0 ) = P )
18	17	pm4.71ri 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) <-> ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) ) )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) ) /\ y e. ( N WWalksN G ) ) -> ( ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) <-> ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) ) ) )
20	19	rexbidva 3049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) ) -> ( E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) <-> E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) ) ) )
21		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( x ` 0 ) = P <-> ( y ` 0 ) = P ) )
23	22	rexrab 3370	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) <-> E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( y ` 0 ) = P /\ ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) ) )
24	20, 23	syl6bbr 278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) ) -> ( E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) <-> E. y e. { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) ) )
25	24	rabbidva 3188	. . . . . . . 8 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } = { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } )
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } = { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) )
28		simplr1 1103	. . . . . . 7 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> V e. Fin )
29	3	eleq1i 2692	. . . . . . . 8 |- ( V e. Fin <-> (Vtx ` G ) e. Fin )
30	29	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( V e. Fin -> (Vtx ` G ) e. Fin )
31		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( N + 1 ) WWalksN G ) = ( ( N + 1 ) WWalksN G )
32		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } = { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P }
33	31, 8, 32	hashwwlksnext 26809	. . . . . . 7 |- ( (Vtx ` G ) e. Fin -> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = sum_ y e. { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) )
34	28, 30, 33	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = sum_ y e. { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) )
35		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( x ` 0 ) = ( w ` 0 ) )
36	35	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ( x ` 0 ) = P <-> ( w ` 0 ) = P ) )
37	36	cbvrabv 3199	. . . . . . . 8 |- { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } = { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P }
38	37	sumeq1i 14428	. . . . . . 7 |- sum_ y e. { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = sum_ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } )
39	38	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { x e. ( N WWalksN G ) | ( x ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = sum_ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) )
40	27, 34, 39	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | E. y e. ( N WWalksN G ) ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = sum_ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) )
41		rusgrnumwwlkslem 26864	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } -> { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } = { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } )
42	41	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } -> { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } = { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } )
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) )
44	43	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) )
45		elrabi 3359	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } -> y e. ( N WWalksN G ) )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> y e. ( N WWalksN G ) )
47	3, 8	wwlksnexthasheq 26798	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( N WWalksN G ) -> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } ) )
49	3	rusgrpropadjvtx 26481	. . . . . . . . . 10 |- ( G RegUSGraph K -> ( G e. USGraph /\ K e. NN0* /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. (Edg ` G ) } ) = K ) )
50		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = y -> ( w ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
51	50	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = y -> ( ( w ` 0 ) = P <-> ( y ` 0 ) = P ) )
52	51	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } <-> ( y e. ( N WWalksN G ) /\ ( y ` 0 ) = P ) )
53	3, 8	wwlknp 26734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( N WWalksN G ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` G ) ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. ( N WWalksN G ) /\ ( y ` 0 ) = P ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` G ) ) )
55		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> y e. Word V )
56		nn0p1gt0 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN0 -> 0 < ( N + 1 ) )
57	56	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> 0 < ( N + 1 ) )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> 0 < ( N + 1 ) )
59		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( 0 < ( # ` y ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
60	59	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( 0 < ( # ` y ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
61	58, 60	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> 0 < ( # ` y ) )
62		hashle00 13188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( ( # ` y ) <_ 0 <-> y = (/) ) )
63		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. Word V -> ( # ` y ) e. NN0 )
64	63	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. Word V -> ( # ` y ) e. RR )
65		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. RR
66		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( # ` y ) <_ 0 <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
67	66	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -. 0 < ( # ` y ) <-> ( # ` y ) <_ 0 ) )
68	64, 65, 67	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( -. 0 < ( # ` y ) <-> ( # ` y ) <_ 0 ) )
69		nne 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( -. y =/= (/) <-> y = (/) )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. Word V -> ( -. y =/= (/) <-> y = (/) ) )
71	62, 68, 70	3bitr4rd 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. Word V -> ( -. y =/= (/) <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
72	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( -. y =/= (/) <-> -. 0 < ( # ` y ) ) )
73	72	con4bid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y =/= (/) <-> 0 < ( # ` y ) ) )
74	61, 73	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> y =/= (/) )
75	55, 74	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) )
76	75	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
77	76	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` G ) ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
78	54, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ( N WWalksN G ) /\ ( y ` 0 ) = P ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
79	52, 78	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) ) )
80	79	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) )
81		lswcl 13355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Word V /\ y =/= (/) ) -> ( lastS ` y ) e. V )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( lastS ` y ) e. V )
83	82	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. (Edg ` G ) } ) = K ) -> ( lastS ` y ) e. V )
84		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = ( lastS ` y ) -> { p , n } = { ( lastS ` y ) , n } )
85	84	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( { p , n } e. (Edg ` G ) <-> { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) ) )
86	85	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = ( lastS ` y ) -> { n e. V | { p , n } e. (Edg ` G ) } = { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } )
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( # ` { n e. V | { p , n } e. (Edg ` G ) } ) = ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } ) )
88	87	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = ( lastS ` y ) -> ( ( # ` { n e. V | { p , n } e. (Edg ` G ) } ) = K <-> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } ) = K ) )
89	88	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( lastS ` y ) e. V /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. (Edg ` G ) } ) = K ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } ) = K )
90	83, 89	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. (Edg ` G ) } ) = K ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } ) = K )
91	90	exp41 638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. (Edg ` G ) } ) = K -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } ) = K ) ) ) )
92	91	com14 96	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. (Edg ` G ) } ) = K -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } ) = K ) ) ) )
93	92	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. USGraph /\ K e. NN0* /\ A. p e. V ( # ` { n e. V | { p , n } e. (Edg ` G ) } ) = K ) -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } ) = K ) ) ) )
94	49, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( G RegUSGraph K -> ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } ) = K ) ) ) )
95	94	imp41 619	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { n e. V | { ( lastS ` y ) , n } e. (Edg ` G ) } ) = K )
96	44, 48, 95	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) /\ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) -> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = K )
97	96	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = sum_ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } K )
98		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
99	98	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
100		wwlksnfi 26801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Vtx ` G ) e. Fin -> ( N WWalksN G ) e. Fin )
101	29, 100	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( V e. Fin -> ( N WWalksN G ) e. Fin )
102	101	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( N WWalksN G ) e. Fin )
103	102	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( N WWalksN G ) e. Fin )
104		rabfi 8185	. . . . . . . . 9 |- ( ( N WWalksN G ) e. Fin -> { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin )
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin )
106		rusgrusgr 26460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G RegUSGraph K -> G e. USGraph )
107		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> V e. Fin )
108	106, 107	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) )
109	3	isfusgr 26210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. FinUSGraph <-> ( G e. USGraph /\ V e. Fin ) )
110	108, 109	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> G e. FinUSGraph )
111		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> G RegUSGraph K )
112		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. V -> V =/= (/) )
113	112	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> V =/= (/) )
114	113	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> V =/= (/) )
115	3	frusgrnn0 26467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. FinUSGraph /\ G RegUSGraph K /\ V =/= (/) ) -> K e. NN0 )
116	110, 111, 114, 115	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> K e. NN0 )
117	116	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> K e. CC )
118	117	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> K e. CC )
119		fsumconst 14522	. . . . . . . 8 |- ( ( { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } e. Fin /\ K e. CC ) -> sum_ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) )
120	105, 118, 119	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) x. K ) )
121	117, 2	expp1d 13009	. . . . . . . 8 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
122	121	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( K ^ ( N + 1 ) ) = ( ( K ^ N ) x. K ) )
123	99, 120, 122	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } K = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
124	97, 123	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> sum_ y e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( ( w substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` w ) } e. (Edg ` G ) ) } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
125	16, 40, 124	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
126		peano2nn0 11333	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
127	126	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
128	127	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
129	3, 4	rusgrnumwwlklem 26865	. . . . . . 7 |- ( ( P e. V /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) )
130	129	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ( P e. V /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
131	1, 128, 130	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
132	131	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) <-> ( # ` { w e. ( ( N + 1 ) WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
133	125, 132	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) /\ ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) )
134	133	ex 450	. 2 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( # ` { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P } ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )
135	7, 134	sylbid 230	1 |- ( ( G RegUSGraph K /\ ( V e. Fin /\ P e. V /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( P L N ) = ( K ^ N ) -> ( P L ( N + 1 ) ) = ( K ^ ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   (/)c0 3915   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292  NN0*cxnn0 11363  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   substr csubstr 13295   sum_csu 14416  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   FinUSGraph cfusgr 26208   RegUSGraph crusgr 26452   WWalksN cwwlksn 26718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-ushgr 25954  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-uspgr 26045  df-usgr 26046  df-fusgr 26209  df-nbgr 26228  df-vtxdg 26362  df-rgr 26453  df-rusgr 26454  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlk  26870