Theorem finsumvtxdg2ssteplem4 26444

Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 26445. (Contributed by AV, 12-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep.v	|- V = (Vtx ` G )
finsumvtxdg2sstep.e	|- E = (iEdg ` G )
finsumvtxdg2sstep.k	|- K = ( V \ { N } )
finsumvtxdg2sstep.i	|- I = { i e. dom E | N e/ ( E ` i ) }
finsumvtxdg2sstep.p	|- P = ( E |` I )
finsumvtxdg2sstep.s	|- S = <. K , P >.
finsumvtxdg2ssteplem.j	|- J = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) }

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdg2ssteplem4	|- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) = ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` J ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, E   i, G   i, N   v, E   v, G   v, N   i, V, v   i, J   v, K

Allowed substitution hints:   P( v, i)   S( v, i)   I( v, i)   J( v)   K( i)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finsumvtxdg2sstep.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
2		finsumvtxdg2sstep.e	. . . . . . . 8 |- E = (iEdg ` G )
3		finsumvtxdg2sstep.k	. . . . . . . 8 |- K = ( V \ { N } )
4		finsumvtxdg2sstep.i	. . . . . . . 8 |- I = { i e. dom E | N e/ ( E ` i ) }
5		finsumvtxdg2sstep.p	. . . . . . . 8 |- P = ( E |` I )
6		finsumvtxdg2sstep.s	. . . . . . . 8 |- S = <. K , P >.
7		finsumvtxdg2ssteplem.j	. . . . . . . 8 |- J = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) }
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	vtxdginducedm1fi 26440	. . . . . . 7 |- ( E e. Fin -> A. v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) )
9	8	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> A. v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) )
10	9	sumeq2d 14432	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = sum_ v e. ( V \ { N } ) ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) )
11		diffi 8192	. . . . . . . 8 |- ( V e. Fin -> ( V \ { N } ) e. Fin )
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Fin ) -> ( V \ { N } ) e. Fin )
13	12	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( V \ { N } ) e. Fin )
14	5	dmeqi 5325	. . . . . . . . 9 |- dom P = dom ( E |` I )
15		finresfin 8186	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. Fin -> ( E |` I ) e. Fin )
16		dmfi 8244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E |` I ) e. Fin -> dom ( E |` I ) e. Fin )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( E e. Fin -> dom ( E |` I ) e. Fin )
18	14, 17	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( E e. Fin -> dom P e. Fin )
19	18	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> dom P e. Fin )
20	3	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( V \ { N } ) = K
21	20	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( V \ { N } ) <-> v e. K )
22	21	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> v e. K )
23	6	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- (Vtx ` S ) = (Vtx ` <. K , P >. )
24	1	fvexi 6202	. . . . . . . . . . . . 13 |- V e. _V
25	24	difexi 4809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V \ { N } ) e. _V
26	3, 25	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- K e. _V
27	2	fvexi 6202	. . . . . . . . . . . . 13 |- E e. _V
28	27	resex 5443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E |` I ) e. _V
29	5, 28	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- P e. _V
30	26, 29	opvtxfvi 25889	. . . . . . . . . 10 |- (Vtx ` <. K , P >. ) = K
31	23, 30	eqtr2i 2645	. . . . . . . . 9 |- K = (Vtx ` S )
32	1, 2, 3, 4, 5, 6	vtxdginducedm1lem1 26435	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` S ) = P
33	32	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- P = (iEdg ` S )
34		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- dom P = dom P
35	31, 33, 34	vtxdgfisnn0 26371	. . . . . . . 8 |- ( ( dom P e. Fin /\ v e. K ) -> ( (VtxDeg ` S ) ` v ) e. NN0 )
36	35	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 |- ( ( dom P e. Fin /\ v e. K ) -> ( (VtxDeg ` S ) ` v ) e. CC )
37	19, 22, 36	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> ( (VtxDeg ` S ) ` v ) e. CC )
38		dmfi 8244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. Fin -> dom E e. Fin )
39		rabfi 8185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom E e. Fin -> { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } e. Fin )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( E e. Fin -> { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } e. Fin )
41	7, 40	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. Fin -> J e. Fin )
42		rabfi 8185	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Fin -> { i e. J | v e. ( E ` i ) } e. Fin )
43		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10 |- ( { i e. J | v e. ( E ` i ) } e. Fin -> ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) e. NN0 )
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( E e. Fin -> ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) e. NN0 )
45	44	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( E e. Fin -> ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) e. CC )
46	45	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) e. CC )
47	46	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) e. CC )
48	13, 37, 47	fsumadd 14470	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> sum_ v e. ( V \ { N } ) ( ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) = ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) )
49	10, 48	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) )
50	3	sumeq1i 14428	. . . . . 6 |- sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` S ) ` v )
51	50	eqeq1i 2627	. . . . 5 |- ( sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) <-> sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) )
52		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) = ( ( 2 x. ( # ` P ) ) + sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) )
53	51, 52	sylbi 207	. . . 4 |- ( sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` S ) ` v ) + sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) = ( ( 2 x. ( # ` P ) ) + sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) )
54	49, 53	sylan9eq 2676	. . 3 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( ( 2 x. ( # ` P ) ) + sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) )
55	54	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( # ` P ) ) + sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) )
56	45	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Fin ) -> ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) e. CC )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) e. CC )
58	12, 57	fsumcl 14464	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Fin ) -> sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) e. CC )
59		hashcl 13147	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Fin -> ( # ` J ) e. NN0 )
60	41, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. Fin -> ( # ` J ) e. NN0 )
61	60	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( E e. Fin -> ( # ` J ) e. CC )
62	61	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Fin ) -> ( # ` J ) e. CC )
63		rabfi 8185	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom E e. Fin -> { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } e. Fin )
64		hashcl 13147	. . . . . . . . . . 11 |- ( { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } e. Fin -> ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) e. NN0 )
65	38, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. Fin -> ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) e. NN0 )
66	65	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( E e. Fin -> ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) e. CC )
67	66	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Fin ) -> ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) e. CC )
68	58, 62, 67	add12d 10262	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Fin ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) = ( ( # ` J ) + ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) )
69	68	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) = ( ( # ` J ) + ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) )
70	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	finsumvtxdg2ssteplem3 26443	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) = ( # ` J ) )
71	70	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( ( # ` J ) + ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) = ( ( # ` J ) + ( # ` J ) ) )
72	61	2timesd 11275	. . . . . . . 8 |- ( E e. Fin -> ( 2 x. ( # ` J ) ) = ( ( # ` J ) + ( # ` J ) ) )
73	72	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( E e. Fin -> ( ( # ` J ) + ( # ` J ) ) = ( 2 x. ( # ` J ) ) )
74	73	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( ( # ` J ) + ( # ` J ) ) = ( 2 x. ( # ` J ) ) )
75	69, 71, 74	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) = ( 2 x. ( # ` J ) ) )
76	75	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( ( 2 x. ( # ` P ) ) + ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( # ` P ) ) + ( 2 x. ( # ` J ) ) ) )
77		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( E e. Fin -> 2 e. CC )
78	5, 15	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( E e. Fin -> P e. Fin )
79		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Fin -> ( # ` P ) e. NN0 )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( E e. Fin -> ( # ` P ) e. NN0 )
81	80	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 |- ( E e. Fin -> ( # ` P ) e. CC )
82	77, 81	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( E e. Fin -> ( 2 x. ( # ` P ) ) e. CC )
83	82	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( 2 x. ( # ` P ) ) e. CC )
84	58	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) e. CC )
85	61, 66	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( E e. Fin -> ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) e. CC )
86	85	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) e. CC )
87	83, 84, 86	addassd 10062	. . . 4 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( ( ( 2 x. ( # ` P ) ) + sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) = ( ( 2 x. ( # ` P ) ) + ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) ) )
88		2cnd 11093	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> 2 e. CC )
89	81	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( # ` P ) e. CC )
90	61	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( # ` J ) e. CC )
91	88, 89, 90	adddid 10064	. . . 4 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` J ) ) ) = ( ( 2 x. ( # ` P ) ) + ( 2 x. ( # ` J ) ) ) )
92	76, 87, 91	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( ( ( 2 x. ( # ` P ) ) + sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) = ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` J ) ) ) )
93	92	adantr 481	. 2 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> ( ( ( 2 x. ( # ` P ) ) + sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. J | v e. ( E ` i ) } ) ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) = ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` J ) ) ) )
94	55, 93	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( ( # ` J ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) = ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` J ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   + caddc 9939   x. cmul 9941   2c2 11070   NN0cn0 11292   #chash 13117   sum_csu 14416  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   UPGraph cupgr 25975  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  26445