Theorem reprdifc 30705

Description: Express the representations as a sum of integers in a difference of sets using conditions on each of the indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprdifc.c	|- C = { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B }
reprdifc.a	|- ( ph -> A C_ NN )
reprdifc.b	|- ( ph -> B C_ NN )
reprdifc.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
reprdifc.s	|- ( ph -> S e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
reprdifc	|- ( ph -> ( ( A (repr ` S ) M ) \ ( B (repr ` S ) M ) ) = U_ x e. ( 0..^ S ) C )

Distinct variable groups:   A, c, x   B, c, x   M, c, x   S, c, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( c)   C( x, c)

Proof of Theorem reprdifc

Dummy variables d a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . 3 |- F/ d ph
2		nfrab1 3122	. . 3 |- F/_ d { d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M }
3		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ d U_ x e. ( 0..^ S ) { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B }
4		reprdifc.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ NN )
5		reprdifc.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN0 )
6	5	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		reprdifc.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. NN0 )
8	4, 6, 7	reprval 30688	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (repr ` S ) M ) = { d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } )
9	8	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) <-> d e. { d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } ) )
10		rabid 3116	. . . . . . . . 9 |- ( d e. { d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } <-> ( d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) )
11	9, 10	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) <-> ( d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) ) )
12	11	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) <-> ( ( d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) /\ -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) ) )
13		eldif 3584	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) <-> ( d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) )
14	13	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) <-> ( ( d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) )
15		an32 839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) <-> ( ( d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) /\ -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) )
16	14, 15	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) <-> ( ( d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) /\ -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) <-> ( ( d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) /\ -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) ) )
18	12, 17	bitr4d 271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) <-> ( d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) ) )
19		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN e. _V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> NN e. _V )
21		reprdifc.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B C_ NN )
22	20, 21	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. _V )
23		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0..^ S ) e. _V )
24		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. _V /\ ( 0..^ S ) e. _V ) -> ( d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) <-> d : ( 0..^ S ) --> B ) )
25	22, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) <-> d : ( 0..^ S ) --> B ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> ( d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) <-> d : ( 0..^ S ) --> B ) )
27	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> A C_ NN )
28	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> M e. ZZ )
29	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> S e. NN0 )
30		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> d e. ( A (repr ` S ) M ) )
31	27, 28, 29, 30	reprf 30690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> d : ( 0..^ S ) --> A )
32		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d : ( 0..^ S ) --> A -> d Fn ( 0..^ S ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> d Fn ( 0..^ S ) )
34	33	biantrurd 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> ( A. x e. ( 0..^ S ) ( d ` x ) e. B <-> ( d Fn ( 0..^ S ) /\ A. x e. ( 0..^ S ) ( d ` x ) e. B ) ) )
35		ffnfv 6388	. . . . . . . . . . 11 |- ( d : ( 0..^ S ) --> B <-> ( d Fn ( 0..^ S ) /\ A. x e. ( 0..^ S ) ( d ` x ) e. B ) )
36	34, 35	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> ( d : ( 0..^ S ) --> B <-> A. x e. ( 0..^ S ) ( d ` x ) e. B ) )
37	26, 36	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> ( d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) <-> A. x e. ( 0..^ S ) ( d ` x ) e. B ) )
38	37	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> ( -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) <-> -. A. x e. ( 0..^ S ) ( d ` x ) e. B ) )
39		rexnal 2995	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. ( 0..^ S ) -. ( d ` x ) e. B <-> -. A. x e. ( 0..^ S ) ( d ` x ) e. B )
40	38, 39	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( A (repr ` S ) M ) ) -> ( -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) <-> E. x e. ( 0..^ S ) -. ( d ` x ) e. B ) )
41	40	pm5.32da 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) <-> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ E. x e. ( 0..^ S ) -. ( d ` x ) e. B ) ) )
42	18, 41	bitr3d 270	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) <-> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ E. x e. ( 0..^ S ) -. ( d ` x ) e. B ) ) )
43		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( c = d -> ( c ` x ) = ( d ` x ) )
44	43	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( c = d -> ( ( c ` x ) e. B <-> ( d ` x ) e. B ) )
45	44	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( c = d -> ( -. ( c ` x ) e. B <-> -. ( d ` x ) e. B ) )
46	45	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( d e. { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B } <-> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` x ) e. B ) )
47	46	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. x e. ( 0..^ S ) d e. { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B } <-> E. x e. ( 0..^ S ) ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` x ) e. B ) )
48		r19.42v 3092	. . . . . 6 |- ( E. x e. ( 0..^ S ) ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ -. ( d ` x ) e. B ) <-> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ E. x e. ( 0..^ S ) -. ( d ` x ) e. B ) )
49	47, 48	bitri 264	. . . . 5 |- ( E. x e. ( 0..^ S ) d e. { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B } <-> ( d e. ( A (repr ` S ) M ) /\ E. x e. ( 0..^ S ) -. ( d ` x ) e. B ) )
50	42, 49	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ph -> ( ( d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) <-> E. x e. ( 0..^ S ) d e. { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B } ) )
51		rabid 3116	. . . 4 |- ( d e. { d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } <-> ( d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M ) )
52		eliun 4524	. . . 4 |- ( d e. U_ x e. ( 0..^ S ) { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B } <-> E. x e. ( 0..^ S ) d e. { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B } )
53	50, 51, 52	3bitr4g 303	. . 3 |- ( ph -> ( d e. { d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } <-> d e. U_ x e. ( 0..^ S ) { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B } ) )
54	1, 2, 3, 53	eqrd 3622	. 2 |- ( ph -> { d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } = U_ x e. ( 0..^ S ) { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B } )
55	21, 6, 7	reprval 30688	. . . 4 |- ( ph -> ( B (repr ` S ) M ) = { d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } )
56	8, 55	difeq12d 3729	. . 3 |- ( ph -> ( ( A (repr ` S ) M ) \ ( B (repr ` S ) M ) ) = ( { d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } \ { d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } ) )
57		difrab2 29339	. . 3 |- ( { d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } \ { d e. ( B ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } ) = { d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M }
58	56, 57	syl6eq 2672	. 2 |- ( ph -> ( ( A (repr ` S ) M ) \ ( B (repr ` S ) M ) ) = { d e. ( ( A ^m ( 0..^ S ) ) \ ( B ^m ( 0..^ S ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = M } )
59		reprdifc.c	. . . 4 |- C = { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B }
60	59	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> C = { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B } )
61	60	iuneq2d 4547	. 2 |- ( ph -> U_ x e. ( 0..^ S ) C = U_ x e. ( 0..^ S ) { c e. ( A (repr ` S ) M ) | -. ( c ` x ) e. B } )
62	54, 58, 61	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( ( A (repr ` S ) M ) \ ( B (repr ` S ) M ) ) = U_ x e. ( 0..^ S ) C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U_ciun 4520   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416  reprcrepr 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-seq 12802  df-sum 14417  df-repr 30687

This theorem is referenced by:  hgt750lema  30735