Theorem rpgecld 11911

Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	|- ( ph -> A e. RR )
rpgecld.2	|- ( ph -> B e. RR+ )
rpgecld.3	|- ( ph -> B <_ A )

Assertion

Ref	Expression
rpgecld	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem rpgecld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR+ )
2		rpgecld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3		rpgecld.3	. 2 |- ( ph -> B <_ A )
4		rpgecl 11859	. 2 |- ( ( B e. RR+ /\ A e. RR /\ B <_ A ) -> A e. RR+ )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   <_ cle 10075   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  rlimno1  14384  isumrpcl  14575  divlogrlim  24381  logno1  24382  chprpcl  24932  vmadivsumb  25172  vmalogdivsum2  25227  vmalogdivsum  25228  2vmadivsumlem  25229  selbergb  25238  selberg2b  25241  selberg3lem2  25247  selberg3  25248  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6a  25271  pntrlog2bndlem6  25272  pntrlog2bnd  25273  pntibndlem2  25280  pntlemb  25286