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Theorem selberg4r 25259

Description: Selberg's symmetry formula, using the residual of the second Chebyshev function. Equation 10.6.11 of [Shapiro], p. 430. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pntrval.r	ψ

**Assertion**
Ref	Expression
selberg4r	Λ Λ

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

**Proof of Theorem selberg4r**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . 13
2	1	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
3		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . 13
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
5		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
6		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
8	7	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
9	5, 2, 8	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
10	2, 4, 9	rpgecld 11911	. . . . . . . . . . 11 $/\$
11		pntrval.r	. . . . . . . . . . . 12 ψ
12	11	pntrval 25251	. . . . . . . . . . 11 ψ
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ
14	13	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ ψ
15		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . 12 ψ
16	2, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ
17	16	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ
18	2	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
19	10	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11 $/\$
20	19	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
21	17, 18, 20	subdird 10487	. . . . . . . . 9 $/\$ ψ ψ
22	14, 21	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ ψ
23	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
24		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
26	25	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
28	23, 27	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
29		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
31	30	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
32	28, 31	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
33	11	pntrval 25251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ψ
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ ψ
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
36		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Λ
37	30, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
38	37	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
39	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
40	39, 25	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
42	41, 30	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
43		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ψ
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ ψ
45	44	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ ψ
46	42	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
47	38, 45, 46	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ Λ
48	35, 47	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ
49	48	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ
50		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
51	37, 44	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ Λ ψ
52	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ Λ ψ
53	38, 46	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
54	50, 52, 53	fsumsub 14520	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
55	49, 54	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ
56	55	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ Λ Λ Λ ψ Λ
57		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Λ
58	25, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ
59	58	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ
60	50, 51	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ ψ
61	60	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ ψ
62	50, 53	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ
63	59, 61, 62	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ Λ Λ
64	56, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ Λ Λ Λ ψ Λ Λ
65	64	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ Λ Λ ψ Λ Λ
66		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	58, 60	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
68	67	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
69	59, 62	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ Λ
70	66, 68, 69	fsumsub 14520	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ Λ ψ Λ Λ
71	65, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ Λ Λ ψ Λ Λ
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ Λ Λ ψ Λ Λ
73		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	2, 8	rplogcld 24375	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76	74, 75	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	76	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	66, 67	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ ψ
79	78	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ ψ
80	66, 69	fsumcl 14464	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ
81	77, 79, 80	subdid 10486	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ Λ ψ Λ Λ
82	72, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ Λ Λ ψ Λ Λ
83	22, 82	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ
84	16, 19	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 $/\$ ψ
85	84	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ ψ
86	18, 20	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$
87	76, 78	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ ψ
88	87	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ ψ
89	77, 80	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ
90	85, 86, 88, 89	sub4d 10441	. . . . . . 7 $/\$ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ
91	83, 90	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ
92	91	oveq1d 6665	. . . . 5 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ
93	84, 87	resubcld 10458	. . . . . . . 8 $/\$ ψ Λ Λ ψ
94	93	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ ψ Λ Λ ψ
95	2, 19	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 $/\$
96	37, 42	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
97	50, 96	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ
98	58, 97	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ Λ
99	66, 98	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ
100	76, 99	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ
101	95, 100	resubcld 10458	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ
102	101	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ
103	10	rpne0d 11877	. . . . . . 7 $/\$
104	94, 102, 18, 103	divsubdird 10840	. . . . . 6 $/\$ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ
105	95	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
106	99	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ
107	77, 106	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ
108	105, 107, 18, 103	divsubdird 10840	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ Λ Λ
109	20, 18, 103	divcan3d 10806	. . . . . . . . . 10 $/\$
110	77, 106, 18, 103	divassd 10836	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ Λ Λ
111	98	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ Λ
112	66, 18, 111, 103	fsumdivc 14518	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ Λ Λ Λ
113	41	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
114	30	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
115	30	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
116	113, 38, 114, 115	div12d 10837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ Λ Λ
117	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
119	25	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
121	37, 30	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
122	121	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
123	25	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
124	123	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
125	118, 120, 122, 124	div32d 10824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ Λ Λ
126	116, 125	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ Λ Λ
127	126	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ Λ Λ
128	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
129	121, 128	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
130	129	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
131	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
133	130, 118, 132	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ Λ Λ
134	127, 133	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ Λ Λ
135	134	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ Λ
136	96	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
137	50, 117, 136, 131	fsumdivc 14518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ Λ
138	50, 119, 122, 123	fsumdivc 14518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ Λ
139	135, 137, 138	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ Λ
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ Λ Λ Λ
141	97	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ
142	59, 141, 117, 131	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ Λ Λ Λ
143	50, 121	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ
144	143	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ
145	59, 119, 144, 123	div32d 10824	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ Λ Λ Λ
146	140, 142, 145	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ Λ Λ Λ
147	146	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ Λ Λ Λ
148	112, 147	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ Λ Λ Λ
149	148	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ Λ Λ
150	110, 149	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ Λ Λ
151	109, 150	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ Λ Λ
152	108, 151	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ Λ Λ
153	152	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ
154	94, 18, 103	divcld 10801	. . . . . . . 8 $/\$ ψ Λ Λ ψ
155	58, 25	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ
156	155, 143	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ Λ
157	66, 156	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ
158	76, 157	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ
159	158	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ
160	154, 20, 159	subsub2d 10421	. . . . . . 7 $/\$ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ
161	153, 160	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ
162	104, 161	eqtrd 2656	. . . . 5 $/\$ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ
163	92, 162	eqtrd 2656	. . . 4 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ
164	163	mpteq2dva 4744	. . 3 Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ
165	93, 10	rerpdivcld 11903	. . . 4 $/\$ ψ Λ Λ ψ
166	158, 19	resubcld 10458	. . . 4 $/\$ Λ Λ
167		selberg4 25250	. . . . 5 ψ Λ Λ ψ
168	167	a1i 11	. . . 4 ψ Λ Λ ψ
169		2cnd 11093	. . . . . . . 8 $/\$
170	157, 75	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ
171	170	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ
172	19	rehalfcld 11279	. . . . . . . . 9 $/\$
173	172	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$
174	169, 171, 173	subdid 10486	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ Λ Λ
175	157	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ
176	75	rpne0d 11877	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	169, 20, 175, 176	div32d 10824	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ Λ Λ
178	177	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ Λ Λ
179		2ne0 11113	. . . . . . . . . 10
180	179	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
181	20, 169, 180	divcan2d 10803	. . . . . . . 8 $/\$
182	178, 181	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ Λ Λ
183	174, 182	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ Λ Λ
184	183	mpteq2dva 4744	. . . . 5 Λ Λ Λ Λ
185	170, 172	resubcld 10458	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ
186		ioossre 12235	. . . . . . 7
187		2cnd 11093	. . . . . . 7
188		o1const 14350	. . . . . . 7 $/\$
189	186, 187, 188	sylancr 695	. . . . . 6
190		2vmadivsum 25230	. . . . . . 7 Λ Λ
191	190	a1i 11	. . . . . 6 Λ Λ
192	74, 185, 189, 191	o1mul2 14355	. . . . 5 Λ Λ
193	184, 192	eqeltrrd 2702	. . . 4 Λ Λ
194	165, 166, 168, 193	o1add2 14354	. . 3 ψ Λ Λ ψ Λ Λ
195	164, 194	eqeltrd 2701	. 2 Λ Λ
196	195	trud 1493	1 Λ Λ

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: $/\$ wa 384

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

wne 2794

wss 3574 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

clt 10074

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

crp 11832

cioo 12175

cfz 12326

cfl 12591

co1 14217

csu 14416

clog 24301 Λcvma 24818 ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-o1 14221 df-lo1 14222 df-sum 14417 df-ef 14798 df-e 14799 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304 df-em 24719 df-cht 24823 df-vma 24824 df-chp 24825 df-ppi 24826 df-mu 24827

This theorem is referenced by: selberg34r 25260

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